Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем пользоваться двумя способами. В первом способе начинают с диаграмм, рассмотренных в конце предыдущего параграфа; второй способ потребует несколько больше алгебраических выводов соотношений между двумя системами 5 и S', движущимися с относительной скоростью V.
Чтобы установить количественную связь между системами S и S', нужно знать единицы этих систем и связывающие их соотношения. Для этого в свою очередь необходимо на осях и сі' системы S', показанной на фиг. 113,6, построить изображение единиц, которые представляли бы в системе S' те же отрезки длины и интервалы времени, которые мы выбрали в качестве единиц в системе 5. Предположим, что расстояние OE от точки О до точки E (фиг. 114,а) представляет линейку единичной длины, покоящуюся в системе 5. Мировые линии концов этой линейки образуются осью et и параллельной ей линией, проходящей через точку Е. Эта линия пересекает ось %' в точке е'.
Мировые линии концов той же самой линейки, покоящейся в системе S', образовывались бы осью et' и параллельной ей линией, проходящей через точку E' оси х'. Отрезок OE' представляет собой единицу длины в системе S'. Мировая линия, проходящая через точку E', пересекает ось х в точке е. 228 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
Для краткости мы будем обозначать отрезки OE, Oe и т. д. символами Е, е и т. д., продолжая использовать эти символы и для обозначения концов этих отрезков.
Смысл символа е' состоит в следующем: покоящийся в системе S' наблюдатель, который хочет измерить длину единич-
Ф и г. 114. К выводу преобразований Лоренца.
а —единицы пространства и времени в системе S (Я, Eci) и в системе S' (e', ???')' Отрезок Oe служит представлением в системе S единичной линейки, покоящейся в системе S', тогда как отрезок Oe' представляет в системе S' единичную линейку, покоящуюся в системе S.
б —к вычислению отношения E'le. в — лоренцово преобразование координат мировой точки Р.
ной линейки, покоящейся в системе S, получит в результате одновременного наблюдения в качестве концов линейки точки О и е'. Одновременность наблюдения в системе S' играет существенную роль потому, что единица, определенная в системе S, движется относительно наблюдателя, связанного с системой S'. Поскольку единица системы S' определяется отрезком E', результат измерения единицы в системе S будет равен е'/Е'-и доле единицы системы S'. Если E соответствует 1 см, то наблюдатель, связанный с системой S', получит величину, равную e'jE' см. § 2.. Кинематика Эйнштейна и преобразования Лоренца
229
То же самое справедливо и для е: здесь е/Е представляет собой коэффициент, связывающий результаты двух измерений.
Но, согласно принципу относительности, две наши системы эквивалентны, т. е. относительные изменения е'/Е' и е/Е должны быть равны:
= или Ее'= E'е. (а)
Это соотношение позволяет определить положение точки E'.
Единицу времени в системе S', равную Ec?, можно построить соответствующим образом из Ect (Ect определяет единицу времени в системе S).
Из фиг. 114 ,а следуют два соотношения1):
е" = Е*[ 1+-^), (б)
* = (в)
Теперь мы умеем преобразовывать координаты х и t любой мировой точки P в системе S в координаты х' и t' этой точки P в системе S'.
!) Первое соотношение (б) представляет собой формулировку теоремы Пифагора для треугольника OEe' (^Ee' — E^- j, а второе соотношение можно доказать с помощью фиг. 114,6. По теореме Пифагора,
но
e = D — De = D\ \ —^j-j,
следовательно,
1 + ~y
F W
Беря квадратные корни из этого выражения и из выражения (б):
Е' = е-
с2
f—^
подставляя их в уравнение (а): Ее' == Е'е и сокращая ~у 1 +"^T » получаем окончательное соотношение (в), 230 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
На фиг. 114, в изображены две системы S и S' с единицами длины E и E' и отрезок е, смысл которого мы уже знаем из фиг. 114, а. Точка P с координатами х, et в системе 5 имеет координаты х', et' в системе 5'. Можно измерять длины на нашем чертеже в единицах U (например, в сантиметрах), но координаты определяются в единицах E в системе S или единицах E' Б системе S'; это значит, что
Ш
X — Е, ,
где Ox' — длина, измеренная в единицах U, а х' — координата,
и что ___
Ox , O(x-vt) X = ИЛИ (X — vt) - -g--.
соответственно. Отсюда и из фиг. 114, в следуют пропорции
-Xr _ Ox' E X-Vt О (х- vt) E'
и _
Ox' E'
O(x-vt) е
Подставляя вторую из них в первую и пользуясь соотношением (в), мы получаем в результате
Xr E 1
x—vt
/чг
Соответствующее соотношение между временными координатами имеет вид
ct' E 1
("-H'
Две последние формулы, дополненные равенствами у' = у и г' = Z (ибо у и Z перпендикулярны направлению движения и поэтому не изменяются), образуют так называемое преобразование Лоренца, позволяющее вычислять координаты мировой точки в системе S' по заданным координатам ее в системе S. Запишем это преобразование в общепринятой форме
'•-¦ft? y^ г'=г' "=тйт (70а) § 2.. Кинематика Эйнштейна и преобразования Лоренца
