Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
231
Эти соотношения и представляют собой формулы, полученные Лоренцом при анализе максвелловских уравнений поля (см. гл. V, § 15, стр. 214).
Рассмотрим теперь алгебраический метод вывода тех же самых формул преобразования. Мировая точка P (ее координаты равны х, t в системе S и х', V — в системе 5') может принадлежать мировой линии, определяемой уравнением х' = С', которая представляет точку, покоящуюся в системе S' в положении С'. В системе 5 эта же мировая линия определяется уравнением X — vi = С (фиг. 114, в). Оба приведенных уравнения, таким образом, описывают одну и ту же мировую линию. Деля второе на первое, получаем
x-vt _С__ Xr ~ С' ~ а'
где а так же, как С и С', постоянна вдоль мировой линии. Следовательно,
ах' = x — vt. (г)
Но, согласно принципу относительности, обе системы эквивалентны. Поэтому можно с одинаковым правом применить те же самые соображения к мировой линии точки, покоящейся в системе S, с той поправкой, что теперь относительная скорость V будет иметь обратный знак. Следовательно, х' + vt' должно быть пропорционально л: и ввиду эквивалентности систем коэффициент пропорциональности а должен оказаться тем же самым в обоих случаях:
ах = х' + vt'. (д)
Из этого и предыдущего уравнений можно выразить t' через л: и t. Мы получаем
vt' = ах — х' = ах —vt = [(а2 — 1) х + vt],
так что
и а2 — 1 . , аг --X +1.
V
Отсюда и из уравнения (г) можно вычислить х' и t' по известным X и t. Коэффициент пропорциональности а пока еще остается неизвестным, но его можно выбрать так, чтобы он согласовался с принципом постоянства скорости света.
Чтобы применить этот принцип, предположим, что световойг сигнал излучается из начала координат обеих систем. Согласно принципу постоянства скорости света, мировая линия светового сигнала должна определяться уравнениями х = et и х? = et' в каждой из систем. Подставляя эти уравнения в уравнения (г) 232 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
и (д), получаем
act' = ct — vt = (с — v) /, act = et' + vt' = (с + v) t'.
Перемножая их, имеем
ct2c2/'/ = (с - о) (с + к) /7
или
Теперь формулы преобразования приобретают вид ах' = X — vt, at' =--\ x + t.
Это тот же самый результат, который мы вывели выше геометрическим методом.
Для того чтобы выразить х, у, z, t через х', у', z', /', необходимо разрешить уравнения (70а) относительно х, у, z, t. Но из эквивалентности обеих систем 5 и 5' следует без всяких вычислений, что формулы, которые получились бы в результате такого пересчета, должны иметь точно тот же самый вид (с тем исключением, что V изменится на —v). Итак,
что можно проверить и прямым вычислением.
Особенный интерес представляет предельный случай, когда скорость V одной из двух систем становится очень малой по сравнению со скоростью света. Тогда мы приходим прямо к преобразованию Галилея [формула (29), стр. 78]. Действительно, если величиной vjc можно пренебречь по сравнению с 1, то из (70) получаем
Теперь понятно, что благодаря малости величины vjc в большинстве практических случаев механика Галилея и Ньютона удовлетворяла всем требованиям в течение ряда столетий.
Прежде чем обратиться к обсуждению содержания полученных формул, мы должны интерпретировать взаимную связь между двумя инерциальными системами, описываемую этими формулами, с помощью геометрического подхода к описанию
X
(706)
х' = X- vt, у' = у, Zr = Zt f = /.
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕХАНИКИ ЭЙНШТЕЙНА § S. Геометрическое представление механики Эйнштейна 233
четырехмерного «мира» х, у, г, t (или х, у, z, et) по Минков-скому. При этом можно не обращать внимания на координаты у и z, остающиеся неизменными, и ограничиться рассмотрением плоскости X, ct. Все кинематические законы при этом будут иметь форму геометрических соотношений в плоскости X, ct. Однако мы настоятельно рекомендуем читателю попрактиковаться в переводе соотношений, которые мы получим в геометрической форме, на язык обычной кинематики. Так, мировую линию следует понимать как изображение движения точки, пересечение двух мировых линий — как столкновение двух движущихся точек и т. д. Для того чтобы зрительно представить себе процессы, изображенные на наших чертежах, нужно взять линейку и двигать ее вдоль оси t параллельно оси х с постоянной скоростью, сосредоточив внимание на пересечениях ребра линейки с мировыми линиями. Эти точки пересечения будут двигаться вперед и назад по ребру линейки и, таким образом, могут дать представление о движении в пространстве.
Как мы видели, всякая инерциальная система 5 (гл. VI, § 1, стр. 226) может быть представлена косоугольной системой координатных осей в плоскости X, ct. Тот факт, что одна из них — прямоугольная, следует истолковывать как случайное обстоятельство, не играющее особой роли в наших рассуждениях, как явственно следует из второго приведенного нами доказательства преобразования Лоренца.
Каждую точку в пространстве можно представлять себе в виде источника световых волн, распространяющихся сферически с постоянной скоростью во всех направлениях. Из этих сферических волн лишь два световых сигнала, движущихся вдоль направления х, изображены на наших фигурах. Один из них движется влево, другой — вправо. Таким образом, они соответствуют в плоскости X, et двум пересекающимся прямым линиям, которые, разумеется, совершенно не зависят от выбора системы отсчета, поскольку они соединяют друг с другом события (мировые точки), а именно те точки в плоскости X, et, в которые последовательно попадает световой сигнал.
