Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Роль центрального тела теперь выполняет Земля; Луна играет роль планеты. Символ г обозначает радиус лунной орбиты, T — период обращения Луны вокруг Земли. Пусть радиус Земли равен а. Если гравитационная сила на Земле действительно
') Прописной истиной. — Прим. перев,
З Зак. 1219 66 Гл. III. Ньютонова система мира
имеет то же происхождение, что и сила притяжения, действующая на Луну со стороны Земли, то ускорение g, обусловленное гравитацией, должно, согласно закону Ньютона (20), иметь вид
4л2С
где С имеет то же значение для Луны, что и в формуле (19), именно
г3
Г = —
Подставляя это значение в выражение для g, мы получаем
4л2/-3
T2a3 -
(22)
Далее, «сидерический» период обращения Луны вокруг Земли, т. е. отрезок времени между двумя положениями Луны, при которых линия, соединяющая ее с Землей, имеет одно и то же направление относительно звезд, равен T = 27 дней 7 часов 43 минуты 12 секунд = 2 360 592 сек.
В физике общепринято записывать числа, учитывая лишь столько знаков, сколько необходимо для дальнейших вычислений. Поэтому мы пишем
T = 2,36- IO6 сек.
Расстояние от Луны до центра Земли примерно в 60 раз больше радиуса Земли, или, более точно,
г = 60,1а.
Радиус Земли сам по себе легко запомнить, так как метрическая система связана с ним довольно просто. В самом деле, 1 м = = 100 см = одна десятимиллионная часть квадранта, т. е. одна сорокамиллионная (или 4-Ю7) часть окружности Земли — 2яа
100 см = 4ТЩ7 или а = 6,37- IO8 слг. (23)
Если подставить эти числа в (22), мы получим 4л2-60,13-6,37- IO8
2,362- IO12
981 СМІ сек2. (24)
Эта величина точно совпадает с полученной из опытов с маятниками на Земле (см. гл. II, § 12).
Огромное значение этого результата состоит в том, что он представляет релятивизацию силы веса. Для древних вес означал тяготение к абсолютному «вниз», которое испытывают все земные тела. Открытие сферической формы Земли принесло § 3. Всемирное тяготение
67
с собой релятивизацию направления силы веса: она стала означать тяготение к центру Земли.
Теперь доказана идентичность веса и силы притяжения, которая удерживает Луну на ее орбите. Поскольку не может быть никакого сомнения в том, что вес по природе аналогичен силе, удерживающей Землю и другие планеты на их орбитах вокруг Солнца, мы приходим к мысли, что тела не просто «тяжелы», но взаимно тяжелы, или тяжелы относительно друг друга. Земля как планета тяготеет к Солнцу, но она и сама притягивает Луну. Очевидно, это лишь приближенная картина истинного положения дел, так как Солнце, Луна и Земля все притягивают друг друга. Конечно, до тех пор, пока мы имеем дело с орбитой Земли вокруг Солнца, само Солнце можно с высокой точностью считать покоящимся, ибо его огромная масса препятствует возникновению заметных ускорений; наоборот, Луну можно не учитывать вследствие ее малой массы. Однако точная теория должна принимать во внимание эти влияния, называемые «возмущениями».
Прежде чем перейти к более глубокому изучению этого вопроса, составившего основной успех ньютоновской теории, придадим закону Ньютона его окончательную форму. Мы видели, что планета, удаленная от Солнца на расстояние г, испытывает притяжение, величина которого (21) равна
„ 4 я2С К = tn —-J-,
где С — постоянная, зависящая только от свойств Солнца, но не от свойств планеты. Однако в соответствии с нашей новой точкой зрения о взаимности или относительности веса планета также должна притягивать Солнце. Если M — масса Солнца, а с — постоянная, зависящая лишь от природы планеты, то сила, с которой планета действует на Солнце, должна выражаться как
к' = м .
Выше, вводя понятие силы (гл. И, § 1, стр. 23), мы использовали принцип равенства действия противодействию, в котором заключается один из простейших и наиболее несомненных законов механики. Если его применить к рассматриваемому случаю, следует положить К = К', или
Отсюда следует, что или
4л2С ,, 4л2с m—5— = M —5—
mC = Mc, M m ' 68
Гл. III. Ньютонова euerem мира
Следовательно, это отношение имеет одно и то же значение для обоих тел (Солнца и планеты), а значит, и для любого тела вообще. Если назвать эту величину k/Ал2, то можно записать
4я 2C = kM, 4 л2с = km. (25)
Коэффициент пропорциональности k называют гравитационной постоянной.
Ньютоновский закон всемирного тяготения теперь принимает симметричную форму
Он утверждает, что:
Два тела притягивают друг друга с силой, пропорциональной массе каждого тела и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
§ 4. НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
Лишь в этой общей форме закон Ньютона свидетельствует о действительном прогрессе в описании планетарных орбит,
В самом деле, в своей начальной форме он был выведен из законов Кеплера с помощью алгебраических преобразований, означая не более чем краткое и поразительное резюме этих законов.
Возможно доказать и обратный закон, т. е. доказать, что движение тела около центрального покоящегося тела, притягивающего первое, согласно закону Ньютона, представляет собой с необходимостью кеплеровский эллипс. (Это верно в случае замкнутых периодических орбит. Однако некоторые кометы имеют гиперболические орбиты. Такие орбиты не замкнуты.) Новые свойства возникают, только когда мы, во-первых, считаем оба тела движущимися и, во-вторых, включаем в задачу еще кгкие-то тела. Тогда мы приходим к проблеме трех или многих тел, которая точно отражает действительные условия, существующие в системе планет (фиг. 34). В самом деле, не только планеты притягиваются Солнцем, а луны — соответствующими планетами, но каждое тело, будь это любое солнце, планета, луна или комета, притягивает все другие TevTa. Соот-
