Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Задача аналитической механики состоит в том, чтобы, исходя из закона движения
mb = К,
описать движение, когда силы К заданы. Сама по себе вышеприведенная формула дает только ускорение, т. е. изменение скорости. Проблема вычисления на основании этой формулы скорости, а затем изменяющегося положения точки требует применения интегрального исчисления и может быть очень сложной, если сила изменяется сложным образом в зависимости от координат в пространстве и от времени. В суть задачи можно вникнуть, исходя из приведенных нами рассуждений об изменении положения движущегося тела при равномерно ускоренном движении вдоль прямой линии (стр. 28—30). Когда движение происходит в плоскости и обусловлено действием постоянной силы, имеющей определенное направление, как, например, в случае падающего или брошенного тела, оно становится более сложным. В этом случае мы также можем заменить в качестве приближения траекторию истинного движения фиктивной ломаной кривой, состоящей из ряда равномерных движений, каждое из которых переходит в следующее за ним вследствие некоторого удара (импульса силы). Обратимся к нашему горизонтальному столу, по которому катится шар; будем сообщать шару импуль- § 13. Аналитическая механика
51
сы постоянной величины и направления через короткие интервалы времени т (фиг. 27). Если шар начинает движение из точки О с произвольной начальной скоростью, то через время т он достигает точки /, где и получает первый импульс. Начиная с этой точки, шар продолжает движение уже в другом направлении с отличной скоростью в течение времени т до тех пор, пока в точке 2 он не получает второй импульс, который вновь отклоняет его движение от предыдущего, и т. д.
Каждое отдельное отклонение можно вычислить на основании закона импульса силы. В соответствии с этим законом мы можем изобразить всю картину движения; из этой картины видно, что начальное положение, начальное направление и начальная скорость полностью определяют всю последующую картину движения. Это «прыгающее» движение дает грубое представление о движении шара по гладкой плоскости. Полученная ломаная будет все более приближаться к истинной непрерывной траектории по мере того, как интервалы времени между последовательными . ударами будут все короче.
Наше приближенное построение можно в случае непрерывно действующих сил заменить строгим анализом на базе интегрального исчисления. В этом случае начальная точка, величина и направление начальной скорости остаются также совершенно произвольными. Но как только они заданы, вся дальнейшая картина движения оказывается однозначно определенной. Так сила, изменяющаяся по одному и тому же закону, может производить бесконечное множество движений в зависимости от выбора начальных условий; огромное количество движений падающих или брошенных тел зависит от силы, изменяющейся по одному и тому же закону (эта сила — сила гравитации, действующая по направлению вертикально вниз).
В задачах механики мы обычно имеем дело с движением не одного, а нескольких тел, которые действуют посредством сил друг на друга. Силы сами по себе заданы не априорно, а зависят в свою очередь от неизвестного движения. Ясно, что задача определения движений нескольких тел при помощи вычислений становится чрезвычайно сложной.
Фиг. 27. Движение шара по столу.
B точках 1, 2, .... 8 шар испытывает удары одной и той же силы, вызывающей изменение скорости W. 52
Г л. II. Фундаментальные законы классической механики
§ 14. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Однако существует закон, который сильно упрощает решение этих задач и дает общий принцип движения. Это — закон сохранения энергии, который сыграл исключительно важную роль в развитии физической науки. Мы лишь проиллюстрируем его смысл на нескольких простых примерах.
Груз маятника, освобожденный после того, 'как он был поднят до определенной точки, поднимается на противоположной относительно положения равновесия стороне на ту же высоту
Фиг. 28. Если груз маятника начинает движение в точке А, то он достигает положения В, имеющего ту же высоту.
Фиг. 29. Если шар начинает движение в точке А, то точка В, в которой направление движения изменится на противоположное, будет лежать на одном и том же уровне независимо от фермы траектории.
Скорость в точке P определяется только разностью высот точек Л и Р.
(за исключением малого отклонения, вызванного трением и сопротивлением воздуха) (фиг. 28).
Если заменить круговую траекторию какой-либо другой, например, заставляя шар двигаться вдоль рельсов игрушечной «железной дороги» (фиг. 29), то оказывается справедливым тот же самый результат: шар всегда поднимается на ту же высоту, с которой начинал движение.
Отсюда, естественно, следует, что скорость шара в каждой точке P его траектории зависит лишь от «глубины» этой точки относительно исходной точки А. Чтобы убедиться в этом, представим себе, что отрезок траектории AP изменился, а остальная часть PB осталась неизменной. Теперь, если бы шар приходил в точку P из точки А вдоль некоторой траектории со скоростью, отличной от той, с которой он попадает в эту точку вдоль другой траектории, то при дальнейшем движении от точки P к В шар в каждом случае не попадал бы точно в точку В. В самом деле, ведь для этого необходимо, очевидно, чтобы скорость в точке P была определена единственным образом. Следовательно, § 14, Закон сохранения энергии
