Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце (фиг. 33).
2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, покрывает равные площади в равные промежутки времени.
3. Кубы больших полуосей эллипсов пропорциональны квадратам периодов обращения.
Однако фундаментальный закон механики дает соотношение между ускорением b любого движения и силой К, которая вызывает это движение. Ускорение b полностью определяется параметрами движения, и если они известны, то К можно вычислить. Ньютон установил, что орбиты, определенные согласно законам Кеплера, вполне достаточны для вычисления Ь. Тогда закон
K = mb
позволяет- вычислить действующую на движущееся тело силу.
Математические возможности того времени не могли позволить Ньютону выполнить этот план. Однако он уже овладел математическим инструментом, необходимым для этой цели,— дифференциальным и интегральным исчислением, к которому почти одновременно с ним пришел Лейбниц (1684 г.). Этот аппарат и сегодня" представляет собой основу современной математики. В своем фундаментальном труде Philosophiae Naturalis Principia Mathematical) Ньютон, однако, отказался от этих
') «Математические начала натуральной философии» (лат.)—Прим. перев.
Фиг. 33. Траектория планеты вокруг Солнца представляет собой эллипс; Солнце расположено в одном из его фокусов. 64
Гл. III. Ньютонова система мира
новых методов и изложил вопрос на основе общепринятых классических геометрических приемов.
Мы будем следовать изложению Ньютона, но, чтобы проиллюстрировать его общие выводы, ограничимся лишь простым примером.
Орбиты планет представляют собой эллипсы с малым эксцентриситетом, т. е. почти окружности. Допустимо предположить, что планеты приближенно описывают окружности вокруг Солнца, как и полагал, собственно, Коперник. Поскольку окружность есть частный случай эллипса, это предположение, несомненно, удовлетворяет первому закону Кеплера.
Второй закон теперь означает, что каждая планета движется вдоль окружности с постоянной скоростью. Мы уже знаем (гл. II, § 4), каково ускорение в таком круговом движении. Оно направлено к центру, и, согласно формуле (4), его величина равна
где V — скорость на орбите, а г — радиус окружности.
Итак, если T — период обращения, то скорость определяется как отношение длины окружности 2пг к периоду обращения Т:
2лг /10Ч
о = — , (18)
так что
4 п2г2 4 п2г
b=-
rf2 f2
Рассмотрим теперь третий закон Кеплера, который в случае круговой орбиты, очевидно, означает, что отношение куба радиуса л3 к квадрату времени обращения T2 имеет одно и то же значение С для всех планет:
Jr — С, или yj- = -^-. (19)
Если подставить это выражение в формулу для Ь, то полу* чим
Ь = (20)
Следовательно, величина центростремительного ускорения зависит только от расстояния между планетой и Солнцем, будучи обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца. Но она совершенно не зависит от свойств планеты, таких, как масса, поскольку величина С, согласно третьему закону Кеплера, одна и та же для всех планет и поэтому может зависеть самое большее от природы Солнца, но не от свойств планет. § 3. Всемирное тяготений
65
Замечательно, что этот же закон вытекает и из предположения, что орбиты имеют форму эллипсов (вычисления, правда, становятся гораздо сложнее). Ускорение остается всегда направленным к Солнцу, расположенному в одном из фокусов эллипса, и имеет значение, определяемое формулой (20), где г — расстояние вдоль радиус-вектора (см. фиг. 33).
§ 3. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
Закон ускорения, установленный в предыдущем параграфе, имеет одно важное свойство, общее с силой гравитации на Земле (весом): он совершенно не зависит от природы движущегося тела. Вычислив силу по ускорению, мы обнаруживаем, что она также направлена в сторону Солнца. Таким образом, эта сила есть сила притяжения; ее величина равна
K = mb = m^~. (21)
Она пропорциональна массе движущегося тела так же, как вес G = mg тела на Земле.
Это навело Ньютона на мысль, что обе силы имеют одно и то же происхождение. В наши дни этот факт, дошедший к нам через столетия, стал таким трюизмом1), что мы с трудом можем представить себе всю смелость и широту ньютоновского новаторства. Какое могучее воображение необходимо было для того, чтобы представить себе движение планет вокруг Солнца или Луны вокруг Земли как процесс «падения», следующий тем же законам и происходящий под действием той же самой силы, что и падение камня, выроненного из руки! То, что планеты или Луна не падают на центральные, притягивающие их тела, обусловлено законом инерции, следствием которого является возникновение центробежной силы. Мы позднее вернемся еще к этому вопросу.
Сначала Ньютон проверил свою идею о всемирном тяготении на примере Луны, расстояние до которой от Земли было известно из прямых измерений. Эта проверка настолько важна, что мы повторим весь чрезвычайно простой расчет в качестве доказательства, что все научные идеи становятся верными и ценными, лишь когда вычисленные и измеренные значения согласуются между собой.
