Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
53
скорость в точке P не зависит от пройденной траектории и, поскольку P произвольна, этот вывод справедлив в общем случае. Таким образом, скорость v должна определяться только высотой падения h. Справедливость этого закона ограничена предположением, что путь («рельсы») не оказывает сопротивления движению шара (т. е. на шар не действует никакая сила в направлении движения), но лишь выдерживает оказываемое на него шаром вертикальное давление. Когда рельсы отсутствуют, мы получаем случай тела, свободно падающего или брошенного; здесь справедлив тот же результат: скорость в каждой точке зависит лишь от высоты падения.
Этот факт можно установить не только экспериментально, но и вывести из законов движения. Можно определить и закон, связывающий скорость с высотой, именно:
Пусть X — высота над уровнем земли (фиг. 30), и — скорость, т — масса и G— вес тела. Тогда величина
E=---и2+ Gx (15)
остается постоянной в течение всего процесса движения.
Для того чтобы доказать это, предположим сначала, что E представляет собой произвольную величину, зависящую от движения и, следовательно, изменяющуюся от одного момента времени к другому. Пусть E изменяется на величину е в течение малого интервала времени т; будем называть отношение e/f скоростью изменения Е\ точно так же, как и раньше, при определении орбитальной скорости v и ускорения Ь, предположим, что интервалы времени т можно сделать как угодно малыми. Если величина E не изменяется с течением времени, то скорость ее изменения, разумеется, равна нулю, и наоборот. Изменение е величины E можно определить следующим образом: за время т высота х падающего тела уменьшается на VX, а скорость возрастает на w = bx. Следовательно, по прошествии времени т величина E становится равной
E' = ^(v + w)2 + G(x-v т).
Но
(о + W)2 = V2 + W2 + cIvw.
Эта формула утверждает, что квадрат, составленный из v и w, отложенных вдоль одной и той же прямой линии, можно
Фиг. 30. Координата X определяет высоту относительно земной поверхности (* = 0). 54
Г л. II. Фундаментальные законы классической механики
разложить на квадрат со стороной v, квадрат со стороной w и два прямоугольника, парные стороны которых равны v и w (фиг. 31). Отсюда следует, что
E' = ^v2 + -^-w2 + mvw + Gx- Gvх. Если отнять отсюда начальное значение Е, то мы получаем
е = Е' — E = -~w2 + ttivw — Gv т, или, поскольку W = Ьх,
е = -у Ь2 X2 + mvbx — Gv т. Следовательно, скорость изменения E равна
W
V • W
W
- = ^-b2x + tnvb -Gv.
T ^
Членом, содержащим т, можно пренебречь, поскольку его можно сделать как угодно малым, бесконечно уменьшая интервал
времени. Поэтому окончательно для скорости изменения E мы получаем
^ = v(mb-G).
Но, согласно законам механики, это выражение равно нулю, так как из (13) следует, что mb = mg = G. Таким образом, мы доказали, что величина E, определяемая формулой (15), остается неизменной с течением времени. Если начальное положение и начальная скорость движения заданы, т. е. заданы значения XHVB момент времени t = О, то выражение Е, согласно формуле значение и сохраняет его в течение
у-W
V W
Фиг. 31. (v + w)2 = V2 +2vw +w2.
(15), имеет определенное всего процесса движения.
Отсюда следует, что если тело поднимается, т. е. если х возрастает, то V должно уменьшаться, и наоборот. Один из двух членов в выражении E может возрастать лишь за счет уменьшения другого. Первый член представляет собой меру скорости тела, второй — высоту, которую тело преодолело против силы § 14. Закон сохранения энергии
55
гравитации. Эти члены имеют специальные названия:
Г = у в2 называют vis viva1) или кинетической энергией.
U = Gx называют способностью совершать работу, или потенциальной энергией.
Их сумму
T + U = E (16)
называют просто механической, или полной, энергией тела; закон, который утверждает, что полная энергия остается неизменной при движении тела, называется законом сохранения энергии.
. Размерность энергии равна [E\ = [G-t\. Ее единица — кГ-см.
Название способность совершать работу проистекает, конечно, из представления о работе, которую совершает человеческое тело, поднимая какой-либо вес. Согласно закону сохранения энергии, эта работа превращается в кинетическую энергию при падении. Если, с другой стороны, придать телу кинетическую энергию, бросая его вверх, то при подъеме эта энергия превращается в потенциальную энергию, или способность совершать работу.
Все, что было сказано относительно движения падающих тел,' в точности справедливо и в более широком случае систем, состоящих из любого числа тел, постольку, поскольку выполняются два условия, а именно:
1. Не должно присутствовать внешних влияний, т. е. система должна быть замкнутой в себе — изолированной.
2. Не должны происходить явления, при которых механическая энергия превращается в тепловую, электрическую или химическую энергию и т. п.
Когда эти два условия выполняются, закон о том, что полная механическая энергия
E= T + U
всегда остается постоянной, справедлив, причем кинетическая энергия зависит от скоростей, а потенциальная — от положений движущихся тел.
