Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
обращать внимание на то, чтобы производные от рк не входили явно в
подинтегральные выражения. На этом основании для моментов времени ^ и
задаются граничные условия, содержащие лишь значения qk (но не рк).. Те
же условия имеют место и тогда, когда функция L, а, сле~ довательно, и Н
зависят явно от времени.
Эта зависимость наступает тогда, когда система находится под внешним
воздействием, зависящим от времени (U зависит от if) или в том случае,
если для описания движения замкнутой системы пользуются системой
координат, совершающей неравномерное движение. Если же Н не содержит явно
времени, то имеет место
dH VT дН ¦ дН • "I
dt 2-1д4кЧк дРь\
к
Выражая qk и р* с помощью уравнений движения (5), находим первый интеграл
ураснений движения (5), т. е.
(7) H(p1ql...) = const (ибо = 0).
Зададимся теперь вопросом о механическом значении величины Н и рассмотрим
случай классической] (не релятивистской) мехашь ки. В любых покоющихся
системах координат кинетическая энергия является функцией второй степени
скоростей; в движущихся координатных системах могут прибавиться к этому
еще свобод^ ные от qk члены, в результате чего кинетическая энергия
запишется:
Т~Т0+Тг+Т2.
При этом Тп представляет функцию я-ой степени от qk, про--извольно
зависящей от qk.
По теореме Эйлера
?
так что
(8;
k jt-u4k
k
Ld'q"
k
Предположим, что существует потенциальная энергия; тогда
L=T- U, и H=Tl+2Ti - {T0+Tl-\-Ti)+U=-T0+T,+U.
В случае покоящейся координатной системы (Т- Т2)
(9) H=T+(J
есть общая энергия.
25,
Если же в Н время входит неявно, то (9) дает сраместно с уравнением (7)
закон сохранения энергии.
В движущихся координатных системах может случиться, что И не будет
зависеть от времени, тогда Н= const есть интеграл, но не интеграл
энергии.
Пример. Рассмотрим координатную систему (?, 15), вращающуюся с угловою
скоростью ш, переход к которой от покоящейся системы (х,у) производится
следующими формулами:
-?=icos u>t - т] sin u>t sin cos Ы
z=e;.
В результате (отбросив индексы этого преобразования) кинетическая энергия
изобразится в виде:
Т= 2 f K(W)+2u <&ч - -^) + 52+-V"-K2]-
Импульсы, соответствующие координатам S, ? и т), будут
Р(. -от(|- <1)У|)
Л,-"О") - "и S) р, ="с
На основании этого мы можем кинетическую энергию записать в следующем
виде:
Для Н получим
н = - 2~ 1р\+р\+рЩ+ и
ИЛИ
н = s ["> (riPi - е рп)+•JL (р\+р\+р1)\ и- и.
Если U относительно оси z обладает симметрией, то Н ие содержит явно
времени и поэтому постоянно.
//= const называют интегралом Якоби, который, однако, отличается от такой
же постоянной энергии
E=T+U='?±(pI+p*+pI) + U.
Из обоих интегралов вытекает
Е- Н = const, что дает теорему площадей,
а именно:
Е - Н= ш-2 (5/7.^ - Yjpj) = w-2 wi(sт) - г) 5)-(-<"22 m Возвращаясь вновь
к координатам х и у, имеем
Е - Н - из2 m (ху - ух).
26
Принимая во внимание принципы относительной механики, из (4) и (5) § 4
для материальной точки имеем
т. е. Н и в данном случае является общей энергией. Результат не зависит
от системы координат до тех пор, пока она не движется.
Из общей теории интегрирования канонических уравнений возьмем некоторые
простейшие случаи.
и< Пусть функция Гамильтона Н не содержит одно{Ккакой-нибудь координаты,
напр. qu
Таким образом мы нашли один интеграл движения. Координ^' ту qx называют,
по Гельмгольцу, циклической координатор что имеет место в том случае,
если ее изменение не отражается на состоянии механической системы (в
частности при переносе или вращении).
Если, например, система материальных точек (xlxi...xn) движется лишь под
действием взаимных сил, то потенциальная энергия зависит только от
разностей
Поэтому вводятся в качестве координат компоненты - *1 У1 Zj и компоненты
разностей Так как U не зависит
(10)
поэтому
и
Н=хрх+ур +грг - 1^тйс^ Г --J== - l\ + U=T+U,
9 гцЪ
§ 6. Циклические переменные
Н=Н(р^грг. ..t) тогда из канонических уравнений следует
р j = COnst.
от х^ у zlt topx1pSl Р%1 - постоянные. Теперь кинетическая энергия.
27
Вследствие того, что
хъ~~
дТ ^ дх, *
(А=2, 3.. .л)
следует
(& = 1,2.. .л)
т. е. три интеграла дают теорему импульсов.
Другой важный случай наступает тогда, когда потенциальная энергия при
вращении всей системы вокруг пространственной оси остается неизменной.
Если <рп <р2.. .азимуты системы точек вокруг этой оси, то координатами
вводятся величины
и кроме этого еще некоторые другие, зависящие лишь от взаимного
относительного расположения системы точек и оси (напр., цилиндрические
координаты rk, zk или полярные гк, &*). Так как функция Гамильтона не
зависит от Ф,, то Ф,- циклическая переменная, в полном смысле этого
слова, и ее сопряженный импульс рф = рф1-постоянен. Так как
то это является импульсом вращения вокруг оси симметрии.
В случае движения системы материальных точек только под действием
взаимных сил наше соображение остается в силе для любого
пространственного направления.
Величина рф является в любом направлении компонентой общего импульса
