Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
преобразований. Выберем произвольную функцию в форме V(qu qlf ?), Условие
Ем*-н(4i, Pi---*)=SpwI- ^>Pifai.~4x---t)
k ft
31
выполняется при осуществлении равенства коэфициентов при <?4и qk
свободных членов в выражениях, стоящих справа и слева, т. е. если
pk=-^v(q"qi • ••*)
<1) дЯн
H=H--?rV(quqt...t).
Благодаря тому, что из уравнения второй строки, вообще говоря, можно
вычислить qk и затем, зная его, из первой строки вычислить ркак функцию
qk и pv системы (1), заменяем урав> нением преобразований. Чтобы таким же
образом получить канонические преобразования с помощью произвольной
функции У (ft рх.. Л), напишем наше условие в форме:
XРнЧк - Н(qupi... *)=- Н(iju~pt... t)+^ V - 2РьЯк)
или что то же самое
ЪрьЧъ - = - - H{q,Pl...t)+j-t V (qi qx.. .t)
Сравнение коэфициентов дает:
(2)
Н=Н v(qirPl...tl.
Эти уравнения также можно рассматривать, как уравнения преобразования.
Третью систему уравнений получим простой перестановкой старых и новых
переменных; при этом, с целью упрощения соответственности между всеми
четырьмя системами, V заменяем на - V.
32
Итак, находим
д
Qk=-A-vi4vPi--^)
(3) Ph
И окончательно, для получения четвертой системы, напишем наше условие в
форме:
'SiPbQk - HiqvPi • • • = - • -0+
к k
ИЛИ
-&/>*-^(^1.Pi •••*)= - ^(?i.rPi---0 +
d_ dt
+777 ^ Pv • - t)
и получим
(4)
dt
Все четыре системы можно сформулировать следующим образом: возьмем
произвольную функцию V(x^x^x^xz-. .t),jidex^_-одна из переменных qh и pL,
а хк - одна из переменных qk и /?*; тогда уравнения
_ dV Ук~ + dxt
(5) Л= ± х=
дхк
н~н-%
дают каноническое преобразование.
Борн-409-3 32
При этом уг сопряжено с хг и ук с xv
При диференцировании по координате принимается во внимание верхний знак,
а при диференцировании по импульсу - нижний знак.
Функцию V мы будем называть производящей функцией канонических
преобразований.
Необходимо подчеркнуть, что свойство преобразований быть каноническими
вовсе не зависит от особенностей механических проблем; если некоторая
функция каноническая, то она остается таковой для любой формы функции Н.
Приведем некоторые преобразования, необходимые нам ниже. Функция
приводит после решения (2) относительно qk и рк к преобразованиям
Во всех этих примерах координаты преобразовываются ме жду собой, а
импульсы между собой.
У Я1РЛЯ2РЛ ¦
дает тождественные преобразования
Я\ - Я1 Р~Р 1
Я 2= Я" P"=Pi-
Функция
У=ЯгРх ± Я1Р2 + Я2Р2
Я\- Я\
Pi = Pi ± Рг
Яг~ Яг i Qi Pi~P2
приводит к
V^qxpl+qxp2+q2px- ЯгР*
1 _ _ _ _
+ Ы pi=pi+p2
(?)
1 _ _ _ _
<72 "2 (q -q2) Р^р-Рг-
Преобразование для трех пар переменных дает функция У Я1р1 +
Я1р2+Я1рз+Я2рлй2рг + Язр">
а именно
(8)
Я\ -Я1
Яъ- Яъ Яг
Л = Р1+Л+Л Л = Л+Л р =р"
v^/l_ dg
X* da. Pi +
Необходимым и достаточным условием этого является, очевидно, линейная
зависимость V от q и р.
2 Ч Qifh+Z PW*+2 ъ7*.
i,k k k
Эта функция дает
а0с Рк+$1
__ k
(9) <7" = 2а**<7*+Ъ-
k
Если постоянные р4 и равны нулю, то мы имеем преобразования, приводящие
qK и рь однороднолинейно и контрагре-диентно к qk и рк, а именно
k k,i i Необходимым и достаточным условием того, чтобы qk между собой
преобразовывались, есть линейность V относительно /?*. Действительно,
функция
Чг • • •) pl+gtiv 4а • • •)
k
дает преобразование
" ~~^MkPl^Wk
(10) я*---)-
С другой стороны линейность Vno отношению к qk допускает преобразование
импульсов
^=2Л(7, P2-- .)4k+g(Pul>2---) k
Pk=fk(PlP2---)
- " df> , dg qk=T.-^=- 4rr
i dPk dPh
(11)
Итак очевидно: Если, переменные одного типа преобразовываются между
собой, то новые переменные второго типа будут линейнлми функциями старых
переменных, коэфициенты которых-определенные функции, а их свободные
члены-произвольные функции переменных первого типа.
Часто употребляемыми преобразованиями являются такие, которые переводят
прямоугольные координаты в цилиндрические или полярные, или же
соответствуют повороту координатной системы.
Функция
V=pxr cos <р + pyr sin <р +p,z
35
переводит прямоугольные координаты в цилиндрические, а именно она дает
x=/*cos(p pr =/>xcos(p + Pj,sin<p
(12) = pf = -rsin <р-47V'C0StP
z=z Рг=Рг-
При этом выражение
переходит в
Р*2+Р/ Pr2+^ Pi-
ll ри переходе к пространственным полярным координатам пользуются
следующими выражениями:
V=px г cos tp sin /*sin (psin&+p2 r cos
Эта функция дает следующие преобразования:
х= г cos (f sin & pr= pxcos (fsin d+PySin <p sin cos &
(13) y = /*sintpsin& p<p--px /'sin<psin&+-/ycos tp sinO
z=r COS& рй=рхг COS <P COS Ъ+руГ sin <p cos&-рг rsin(r).
Она приводит выражение
"2
РхЛ-руЛ'Рг
Pr2+ - /"а2+ -5-г-а-о- Р?а-г Tt п sin*a ГЧ
Вращение прямоугольной координатной системы (х,у, z) эквивалентно
линейному преобразованию координат с постоянными коэфициентами. При этом
импульсы преобразовываются контра-гредиентно.
В том случае, если коэфициенты вращения ащ удовлетворяют условию
•о 1 (i=k)
|0 (i^k)
контрагредиентное преобразование имеет то же значение, что и
первоначальное. Импульсы преобразовываются, как и координаты
