Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
промежуточное значение.
* Из трех уравнений соответствующих координатам (х, у, г) в
последствии мы будем писать только первое.
20
L здесь определяется так, чтобы это уравнение соответствовало уравнению
Ньютона (1).
Если силы Я!* имеют потенциал U, т. е.
"______dU_
дхк'
то определим функцию Т* от компонентов скорости так, что
дТ* ¦
- дхк
дТ*
Г = т*Ук дУъ
дТ*
- =тд.
dzk
Тогда уравнение (1) может быть переписано в форме g дТ* d(-U)_Q dt дхк
дхк
или
d д(Т* - U) д{Т* - ?7) dt дхк дхк
При этом в нашем вариационном принципе мы пишем
(4) L=T* - U.
Если же не принимать во внимание теории относительности, то тк -
постоянная и Т* равно кинетической энергии Т. Положим, ка.к учит нас
теория относительности, что:
т-
где т0 - "масса в состоянии покоя" и с - скорость света. Тогда (для одной
точки) получаем
(5)
что переходит в выражение при граничном случае с*= со.
21
Эта функция отличается от кинетической энергии
1
(6)
- 1
т
Конечно, и Т при с = оо переходит в выражение е.
Часто силы кроме одной составной части могущей быть выведенной из
потенциала, содержат еще одну составную часть й*. зависящую от скорости
(как при магнитных силах, действующих на электрический заряд). Тогда
определяют некоторую функцию М так, что
(7)
dt дх дх и подставляют в вариационный принцип (2)
(8) L=T*- U-М.
Следовательно, уравнение Лагранжа (3) представится в следующем виде:
d дТ* ,dU d дМ дМ
dt дх дх dt дх дх
=0,
т. е. вариационный принцип в действительности имеет то ж е значение, что
и уравнение движения Ньютона:
^(тх) - Шх - Ш*х=0.
Принцип Гамильтона остается в силе и в том случае, если между
материальными точками существуют "связи", выражающиеся уравнением
взаимной зависимости координат1
А(хи У*. zu х3, уг, z2,...)=0.
По правилам вариационного исчисления к силам прибавляются еще добавочные
силы, происходящие от реакции связи
|S
где так называемые "множители Лагранжа". Их рассматривают наряду с
координатами, как неизвестные; и в этом случае число диференциальных
уравнений движения и дополнительных
1 Условия, не содержащие компонентов скорости, называются
голономными.
22
условий вновь равно числу неизвестных. Главное преимущество принципа Г
амильтона (как уже подчеркивалось) состоит в том, что он представляет
возможность истолкования законов движения, независимо от координат.
Если задано некоторое число дополнительных условий, то при помощи их
можно исключить такое же число координат. Остается лишь отдельное число
независимых координат
Я1Я2••'Qi
/ называется числом степеней свободы.
Функция Лагранжа будет тогда функцией q, их производных по времени и, при
некоторых обстоятельствах, также и времени:
L - L(qv qlt q2,qv...qf, q/, t) и вариационный принцип дает уравнения
Лагранжа
(9) о
dt dqk dqk
fc=l,2.../.
Оно справедливо также и тогда, когда qk суть координаты произвольно
движущейся или даже деформирующейся системы координат.
§ 5. Канонические уравнения
Каждое из уравнений Лагранжа есть уравнение второго порядка. Во многих
случаях, особенно при общих рассуждениях, выгодно заменять их вдвое
большим числом диференциальных уравнений первого порядка. Простейший путь
состоит в том,
что заменяют qk-sk и, прибавляя это диференциальное уравнение, считают sk
наряду с qk неизвестной функцией. Очень симметричная формулировка
получается следующим путем:
Вводят вместо qk новые переменные
dL
dqk
называемые импульсами.
Уравнения Лагранжа (9) § 4 теперь будут иметь следующий вид:
(2)
Pk dq*'
в
где L все же рассматривается, как функция qk и q.,.
23
Если вместо функции L{qiql...t) ввести новую функцию H(qlpl...t) способом
преобразования Лежандра1,то решение уравнения (1) в форме (2) будет:
(3) H=Y>q>p-L.
h
Образуем полный диференциал
dH= 'ZPudqi- dqk-~dt .
Члены, имеющие dqk, уничтожаются благодаря (1).
Для частных производных Н (qipl...t) по рк и qk получаем поэтому
дН ¦
W.'"'
При этом индексы р и q обозначают, какие из переменных должны быть
независимы.
Теперь можно (2) и решение (4) с помощью новых переменных написать в
форме
дН Як дрк
(5)
Это так называемая каноническая форма уравнений движения.
Ри q2, p.it...t) называется функцией Гамильтона. Переменные qk и рк
называются канонически сопряженными друг другу. Эти же уравнения
получатся, если выразить в вариационном принципе (2) § 4 с помошью
уравнения (3) функцию L через функцию Н.
Тогда получим и
(6) J- H\qxtPi-¦ •*)] экстремум.
1 Преобразование Лежандра, вообще говоря, переводит какую-ли€о
df
функцию / (ху) в некоторую функцию g(x,z), где г= производя это таким
образом, что производная от g по новой переменной z равна старой
переменной у. Такие преобразования в физике играют большую роль. Напр., в
термодинамике энергия относится так к свободной энергии, как какая-либо
функция к функции преобразования Лежандра.
24
Як и Рк рассматриваем здесь, как функции, подлежащие опре~ делению. Легко
видеть, что уравнения Лагранжа по смыслу совпадают с (5), причем нужно
