Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
из чего следует постоянство вектора импульса вращения. Может случиться,
что Н зависит лишь от рк
(А = 2,3...)
(k = 2,3, ... л)
и
где гк - расстояние от, оси р& имеет значение
П
п
п
S тъКrd и всегда постоянна,
тогда канонические уравнения тотчас же полно стью интегрируются. А
именно:
Р*=0 рк=
дИ *. а
При этом и>к для системы - своеобразные постоянные; а4 и
- постоянные интегрирования.
Из этого мы видим, что механическая проблема легко разрешима тогда, когда
можно ввести такие координаты, которые делают функцию Гамильтона
зависимой только от канонически сопряженных импульсов.
Эта цель будет преследоваться во всех методах, излагаемых в дальнейшем.
В общем случае, притти к таким переменным простым преобразованиям qk в
новые координаты невозможно.
Необходимо выразить в новых переменных всю совокупность импульсов и
координат (<7*р*).
Рассмотрим перед этим некоторые примеры.
1. Pomamojf. Под этим названием разумеется твердое тело, могущее
вращаться вокруг пространственной оси.
Если ср - угол вращения и А-момент инерции относительно оси, то
г-тА'*
и соответствующий (r) импульс-р*=А у.
Для движения без участия сил (?/=0)
(1)
вследствие чего $ есть циклическая координата и поэтому const и
? =">=-?-, <р=о>/-(-р.
Итак, движение без участия сил является равномерным вращением вокруг оси
2. Симметричный волчок. Пусть Ах - момент инерпии вокруг оси,
перпендикулярной к оси симметрии (г), Ас - момент инерции вокруг оси
симметрии и
frffi - компоненты скорости вращения в прикрепленной к телу координат'
ной системе (х, у, г); тогда
Т = у1АЛЬ*г+Ь/) + ЛгЬЛ
Введем в качестве координат углы Эйлера 8, tp,
ft-'-угол между осью симметрии (г) и некоторым направлением в
пространстве (z - ось),
<f - угол между осью х и узловой линией.1 4"- угол между осью х и узловой
линией.
1 Узловая линия --прямая пересечения (х, ^)-плоскосги и плоскости (х,
у), перпендикулярной к оси - г, идущая через нулевую точку.
29
Компоненты скорости вращения выразятся следующим образом:
Ь^.-9 cos '-р 4- ? sin & sin (р
(2) by=& sin у - sin 8 cos i
Ьг=кр+ф cos &
и кинетическая энергия
T = y И* ("&а+ sinS") +Аг cos &)2],
Соответствующие импульсы:
дт л i
р, = ^j-лл
дТ • '
(3) p<f = --= ЛДз+ф cos ft)
д?
дТ
Рл =-- ="(>4J.Sin8ft-M*COS28)4' + /i> COS а 9. дф
С целью выяснения физического значения импульсов, подставим из (2) вместо
9, -р. Ф компоненты Ь, тогда имеем:
Р" = Ах (bx cos э+Ь9 sin <р)
Р? -
Рф = (Ьд. sin <f - bs cos tp) sin а+Л2 b3 cos 9.
и (bxcos f - by sin -о) очевидно означает скорость вращения вокруг
узловой линии н (bx sin tp-by cos tp) -скорость вращения вокруг
перпендикулярного к плоскости (х, у) направлевия. Таким образом на
основания уравнения заключаем:
Р8 - импулвс вращения вокруг узловой линии,
Р?-импульс вращения вокруг оси симметрии,
Рф - импульс вращения вокруг направления (г) в пространстве.
Для движения, свободного от действия сил (U-0), получается следующее
выражение:
'Pj-P, COS" у-j^p"
2 А,
н т J_r. cosOyi
2Axl9+\ sin" JJ+:
Так как <p и здесь не содержатся, то они являются циклическими
Координатами, а поэтому
Ру = const, = const.
Так как мы имеем в своем распоряжении теорему об общем импульсе вращения,
то можно произвести полностью интеграции. А именно ось z, являющуюся до
этого произвольной, отложим по направлению общего импульса вращения н,
так как узловая линия перпендикулярна к нему, то импульс вращения вокруг
узловой линии
Рь =
Канонические уравнения дают & = const.
df = 0; (Р?~Р+ cos ^ p<f ~рч cos = 0'
30
в результате чего, проделав преобразование, мы приходим к выражению:
Р9 - Pi, cos а = 0 (ибо/>ф ^рч ).
Функция Гамильтона теперь получит простую форму
,,___1_ п2 , (_1____1 \ 2 .
н~ 2Ах Р* + ДAz Ах )Р? '
ф й " изменяются равномерно с угловыми скоростями:
Ш ¦( 1 1 \ • дН 1
Движение симметричного волчка, свободного от действия сил, состоит, таким
образом, в равномерном вращении вокруг оси симметрии, связанном с
равномерной прецессией этой оси вокруг направления общего импульса
вращения.
§ 7. Канонические преобразования
Как было уже выше упомянуто, интегрирование уравнений движения
достигается тем, что вводятся новые координаты* имеющие циклический
характер.
Отыщем поэтому в общем порядке преобразования
Ри=Рк(Я1Й2-- - PiP3---t)
ЧгЯЛчГЧъ-" Р1Р2 •••*)
таким образом, чтобы новые переменные снова удовлетворяли уравнениям
движения в канонической форме.
^Цля этого достаточно, чтобы вариационный принцип*(6)"§ 5
свелся к
Я
- HtfiPi ••• ^ J ^=экстремум.
Это имеет место лишь в том случае, если разность подин>
dV
тегральных функций представляет полную производную -^
от некоторой функции, зависящей от 2/ старых и новых переменных и также
от времени. Рассматривая V как функцию qh и qk, мы получаем значения V на
границах интеграции. В зависимости от того, как написать V, - или как
функцию qtqkt* или_qk, рк, t, или qk, рк, t или в конце-концов, как
функцию Рк>,Рк> *-мы получим четыре формулы для канонических
