Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
периодической функции квазиимпульса. Последнее означает, в частности, что
особенности Ван Хова не обязаны наблюдаться в спектре поглощения (или
испускания) неупорядоченных полупроводников. При аморфизации
кристаллического полупроводника пики коэффициента поглощения,
обусловленные этими особенностями, должны "размазаться", что и
наблюдается в действительности (§ 3).
*) В применении к системам со случайным полем эти определения, оставаясь
правильными, нуждаются в некоторых разъяснениях (см. следующий параграф).
34
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
§ в*. Плотность состояний (строгое рассмотрение)
Явный ответ на вопрос, как строго ввести представление о плотности
состояний, мы получим, воспользовавшись общим выражением для концентрации
частиц и приведя его к виду (5.4). При этом получится и общая формула для
функции р(Е).
Как известно, в любой системе частиц локальная концентрация п(х) дается
выражением
Здесь Gr(E) есть фурье-образ по времени от запаздывающей
антикоммутаторной одночастичной функции Грина (для краткости мы будем в
дальнейшем называть эту величину просто функцией Грина), s - спиновая
переменная, переменная Е имеет размерность энергии*). Интегрирование по Е
производится формально по всей вещественной оси; фактически, однако,
подынтегральное выражение может обрываться при каких-то конечных
значениях Е, и удобнее говорить, что интеграл берется по всей области, в
которой подынтегральное выражение отлично от нуля.
Среднее значение концентрации по объему Q есть
Объем Й может совпадать или не совпадать с полным объемом рассматриваемой
системы. В случае, когда данный объем составляет лишь часть полного
объема системы, средняя концентрация (6.2) в принципе могла бы зависеть
от положения его в образце. Мы, однако, ограничимся случаем
макроскопически однородной системы, когда такая зависимость отсутствует.
(Более подробное обсуждение понятия "макроскопически однородная система"
содержится ниже, в § II. 7.)
Рассматривая функцию Грина 0r(x, s; х', s'; Е) как матрицу с индексамй х,
s; х', s', можем написать
(6.1)
(6.2)
^ dx ^ Im Gr (х, s; х, s\ Е) - Sp Im Gr (E). (6.3)
S
Таким образом,
м,
*) В книге [14] переменная Ц отсчитывается от уровня Ферми,
соответственно чему величина F не входйт явно в формулу, аналогичную
(6.1). Нам удобнее пока не фиксировать начало отсчета Е.
§ 6*. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ (СТРОГОЕ РАССМОТРЕНИЕ) 35
Сравнивая это с формулой (5.4), видим, что плотность состояний (с обоими
значениями проекции спина) следует определить равенством
p(?) = |-SpImGr(?). (6.6)
При достаточно большом значении объема Q правая часть (6.5) перестает
зависеть от Q.
Заметим, что в принятых нами условиях результат интегрирования в (6.3)
автоматически получается усредненным и по случайному полю. Действительно,
по смыслу понятия "макроскопическая система" объем ее таков, что в разных
его участках происходит перебор всех возможных конфигураций поля*).
Технически, однако, может оказаться удобнее вычислять функцию Грина при
каком-то одном виде потенциальной энергии носителя заряда, а потом уже
явно выполнять усреднение по случайному полю. Последнюю операцию мы будем
обозначать символом (....), где точки обозначают усредняемое выражение.
Таким образом, вместо (6.5) можем написать также
Р (?) = "§¦ (Sp Im Gr (?)). (6.5')
В макроскопически однородной системе величина (Im Gr (х, s; х, s; Е))
не зависит от х, и, следовательно, интегрирование по х в (6.3) сводится
просто к умножению на Q. Независимость п и р(?) от выбора объема Q (при
условии его макроскопичности) здесь видна непосредственно.
Мы ввели определение (6.5) чисто формальным путем. Легко убедиться,
однако, что в частном случае, когда можно говорить об одночастичном
энергетическом спектре, формула (6.5) действительно дает число уровней в
единичном интервале энергии, отнесенное к единице объема. В самом деле,
пусть мы имеем одноэлектронную задачу с гамильтонианом
Я" = - 2^У2+У(Х)> (6-6)
где У(х) - потенциальная энергия электрона, а т0 - масса свободного
электрона. Функция Грина Gr(E) определяется
*) Это утрерждение, кажущееся почти очевидным, на самом деле представляет
собой гипотезу - такую же, как гипотеза об эргодичности в классической
статистической механике (см. § 7).
36
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
уравнениями *)
[Е-Н (х)] Gr (х, х';Е) = --~д (х - х'), (6.7а)
[Е - Н (х')] Gr (х, х'; Е) = - ~ 6 (х - х'). (6.76)
При этом функция Gr(E) должна быть аналитпчпои в верхней полуплоскости
комплексной переменной Е.
Обозначим через К совокупность квантовых чисел, характеризующих
собственные значения Ех и собственные функции оператора Я:
= (6.8)
В частности, при V - 0 под К следует понимать совокупность трех компонент
импульса и спинового квантового числа; если V-'Периодическая функция, то
X есть совокупность трех компонент квазиимпульса, спинового квантового
числа и номера энергетической зоны и т. д. В общем случае системы сколь
угодно больших, по конечных размеров все квантовые состояния электрона,
