Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
полярные углы вектора р). Якобиан перехода от переменных рх, ру, рг к
переменным Е, v, v' обозначим через Zo(E,v,v') и введем обозначение
W = 7W Sdv dv'Z°(?' v' v/)> (5-3)
Получим
n=Yj\ ?о(Е)пв(Е)йЕ- (5-4)
О
Величина ра(?) называется плотностью состояний. Смысл названия ясен
из формулы (5.4): ра(Е) dE есть, очевидно, число
дозволенных электронных состояний (с данным спином) в ин-
тервале энергии dE*). В дальнейшем мы будем для краткости всюду, где
возможно, опускать спиновые индексы. Вычисление р(?) не представляет
труда, коль скоро известен закон дисперсии, Е = Е(р). Так, например, для
электронов проводимости в простой зоне мы имеем
Е(р) = Ес + р2/2т, (5.5)
где Ес - нижняя граница зоны проводимости, т - эффективная
масса. В качестве v и v' здесь удобно выбрать полярные углы
0, ф; при этом для якобиана Z мы получаем (при Е ^ Ес):
Z (Е, 0, <р) = д/2т3 л/Е - Ес sin 0. (5.6)
Согласно (5.5) область Е < Ес при вещественных значениях р не дозволена
(запрещенная зона). Формулы (5.3) и (5.6) дают теперь
= Е"Е" (5.3')
I О, Е < Е,.
Как видно из формулы (5.4), зная плотность состояний р(?), мы можем найти
явное выражение для концентрации частиц как функции уровня Ферми,
температуры, напряженности маг-
*) Часто определяют плотность состояний как Zj Ра(?)-Это бывает удоб-
а
но, когда эффекты, связанные с наличием спина, не играют роли.
80
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
нитного поля и других аналогичных величин. После этого все равновесные
характеристики системы (теплоемкость, магнитную восприимчивость и т. д.)
можно найти уже чисто термодинамическим путем. Иначе говоря, вся
конкретная информация, необходимая для вычисления термодинамических
характеристик системы, содержится в виде функции р(?).
Легко обобщить определение плотности состояний на случай, когда в
энергетическом спектре системы имеются и дискретные уровни (например,
локальные уровни в запрещенной зоне, связанные с наличием примесных
атомов или иных структурных дефектов кристаллической решетки).
Действительно, концентрация электронов на локальных уровнях дается
выражением [3]
n(?<) = JV([g(exp(-^-^) + l] '• (5.7)
Здесь через Nt, gt и ?* обозначены, соответственно, концентрация уровней,
фактор вырождения и энергия уровня. Введем "эффективную энергию"
E] = Et + Tlngt. (5.8)
Тогда концентрацию электронов на локальных уровнях можно представить в
виде такого же интеграла, как и в (5.4). Надо лишь определить плотность
состояний, связанных с локальными уровнями, равенством
р (Е) = Ntb (Е - Et). (6.9)
Таким образом, при наличии дискретных энергетических уровней плотность
состояний имеет дельтообразные особенности при E = Et.
Из формул (5.3), (5.3') и (5.9) явствует, что вид плотности состояний как
функции энергии отражает характер энергетического спектра системы.
Именно, функция р (Е) отлична от нуля и непрерывна в области непрерывного
спектра, имеет особенности в точках дискретного спектра и обращается в
нуль в области запрещенных значений энергии.
Существует также определенная корреляция между видом функции р(Е) и
кинетическими характеристиками рассматриваемой простейшей физической
системы. Для определенности будем говорить об электропроводности
вещества, хотя все дальнейшее в равной мере относится и к другим
аналогичным кинетическим коэффициентам.
Рассмотрим сначала электропроводность на постоянном токе ст. Электроны и
дырки, в равновесных условиях занимающие дискретные уровни в запрещенной
зоне, могут участвовать в переносе заряда только путем перескоков (более
подробно см. гл. IV); при понижении температуры вероятность последних
§ 5. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ
31
уменьшается, стремясь к нулю при Т-у 0. Следовательно, при Т-+- 0
электропроводность может быть отлична от нуля, лишь если в зоне
проводимости (или дырочной) остается конечное число носителей заряда. Газ
последних при этом будет, разумеется, вырожденным. Иначе говоря, в
применении к рассматриваемой системе тривиально справедлива
Теорема 1: статическая электропроводность при Т = 0 отлична от нуля тогда
и только тогда, когда уровень Ферми попадает в область энергий, где
плотность состояний отлична от нуля и непрерывна*).
Переходя к переносу заряда при конечной температуре, ограничимся случаем
не прыжковой, а обычной проводимости. Тогда тривиально справедлива
Теорема 2: если уровень Ферми попадает в область энергий, где плотность
состояний равна нулю, то при достаточно низких температурах (Т много
меньше характерной энергии, на которой заметно изменяется плотность
состояний в непрерывном спектре)
<т~ехр(-~ Е° ^ ) . (5.10)
Здесь Ео - ближайшая к F граница области, где функция р(?) отлична от
нуля и непрерывна. Правая часть (5.10) может, естественно, содержать и
экспоненциальное слагаемое с большим показателем степени, отвечающее
неосновным носителям. Нас здесь интересует, однако, лишь слагаемое с
наименьшим температурным коэффициентом, доминирующее при не слишком
высоких температурах.
Обратимся теперь к электропроводности при конечной частоте электрического
