Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7*. Вычисление континуального интеграла
для Gr(t). Плотность состояний
При явном расчете функции Грина целесообразно задать конкретный вид
корреляционной функции Ф(г). Возьмем ее в простейшем виде:
Это выражение удовлетворяет условиям а)-д) (стр. 173-174). Оно имеет и
непосредственный физический смысл. Так, корреляционная функция вида (7.1)
возникает в задаче о сильно легированном полупроводнике с
некоррелированным распределением атомов примеси в пространстве (см.
Приложение IV)*). При
^2<1.
(6.30)
ф (г) = ф]?-аг.
(7.1)
•) Как мы видели в § II. 7, случайное поле в такой системе при известных
условиях можно рассматривать как гауссово.
$ ?*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ Gr (t) 181
этом роль характерной длины а-1 играет радиус экранирова-
ния го, а
ф, = 2лга*е4г0/е2. (7.2)
Будем считать для простоты, что
Л3 = а4/Ф,<1. (7.3)
В задаче о примесном полупроводнике это есть обычное условие "сильного
легирования" [35]. Заметим, однако, что область применимости данного
метода отнюдь не ограничивается этим условием.
Обратимся сначала к сравнительно простому, но важному случаю "малых
времен":
t<tc. (7.4)
Тогда, как объяснено в конце предыдущего параграфа, при разложении
функции Грина по отклонениям от основного члена ехр(-ф^2/2) для функции
Грина получается приближенное выражение
Ог(0"
- G<?> (0 ехр (- ф//2) { 1 + [г (т)] ехр {QK [г (т)]} X
t t .
X ^ Gh; ^ dx' ехр [- а | г (т) - г (х') | ] I. (7.5)
0 0 )
Здесь фигурирует уже сравнительно простой континуальный интеграл. Положим
t t
1 w=- fk S ^ ^ Sd% Sd%'exp 1 r r i
о 0
и перейдем к фурье-образу W (г):
4t) = - -f- \dx \ dx'^2 \ (?2 +a2)2 X
0 0
X T S ^ ^ exp tr ^ + /kr - lkr =
t t OO
- - ^ SdT S d%,\ (/+*¦>¦j| <*¦т - *'•" v.во
0 0 0
Континуальный интеграл J{ берется элементарно:
Ji{k, X - x', /) = ехр[- у?2ф(1 - P)], p= !T~T 1 . (7.6")
182 гл. III ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Введем новые переменные:
s=k/a, у - 2 (т - х')Ц -- 1, г2 = (1/8) а2/ (1 - у2). (7.7)
Тогда после несложных преобразований получим
I оо
' (0 = - \ dy ^ ds s2 exp -у - (s + .
(7.8)
Здесь уже допустимо разложение по zs ~ В результате несложного
интегрирования находим, отбрасывая слагае-
мые высшего порядка малости по t/tc:
О, (() = Й* (Омр (- \ [ 1 - exp (- 1V).
(7.9)
Формула (7.9) получена при t < tc. Легко убедиться, однако, что при
вычислении фурье-образа
оо
Gr(E) = ±\ eiEtGr (() dt
о
существенны следующие значения аргумента t:
/~|?|/ф| при ("большие энергии"),
^^'ф1_1/2 при ?2'С,ф1 ("малые энергии").
Выражением (7.9) можно пользоваться, если указанные величины меньше tc. В
области малых энергий это условие сводится к неравенству (7.3); с другой
стороны, в области больших энергий принятое приближение оказывается
справедливым, если
к-<prY/3 • (7Л°)
ф, V ст /
Видим, таким образом, что условие применимости квази-классического
приближения определяется не только параметрами материала ф! и а, но и той
энергией, при которой вычисляется плотность состояний. Видимо, так же
обстоит дело и при использовании других приближений.
Рассмотрим сначала случай j Е |<Сф!/2. Здесь допустимо разложение
eiEt~\+iEl. ¦ (7.11)
Отсюда для плотности состояний при малых энергиях имеем, отбрасывая
второе слагаемое в квадратных скобках в (7.9):
01?\- . I 4 Г (3/4) Е Г (1/4) . аЕ 1________________ (7 12)
Pl j Pl 21/4я5/2 + ф{/4 27/4я5/2 ф1/2 8 л/2 п3/2 ' К '
§7*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ Gr(t) 183
или, в обычных единицах,
р (?) =
Г (3/4) m3/2i|)J/4 J Г (1/4) Е 23/4Я ЕаП \
~ 21/4л512 h3 t 23/2 Г (3/4) ф!/2 + 16Г (3/4) }' {'Л2 '
Первые два слагаемых в фигурных скобках в правой части ('7.12')
представляют собой хорошо известный результат квази-классического
приближения [13], последнее слагаемое определяет квантовую поправку к
плотности состояний. Поправка такого вида была получена А. Л. Эфросом
(1970) иным методом. Согласно сказанному выше, выражение (7.12')
оправдано
при
|?|<ф[Д (7.13)
С другой стороны, при Е < 0 и | Е l^i])1/2 формула (7.9) дает
(Е)= +5"pj-f/^,)(?_jJ??Ly (7.14)
2я | EI 8 д/2 Я-\/Tpi V д/г|)1 д/2я/
Первое и второе слагаемые здесь представляют собой, соответственно,
результат квазиклассического приближения и квантовую поправку к нему.
Обратимся теперь к исследованию поведения функции Грина на больших
временах t tc. Здесь надо прежде всего доказать, что круговая орбита
радиуса Ra(t) (см. (6.24)) действительно представляет собой точку
стационарности функционала Q[r(x)]. Далее надо будет вычислить
континуальный интеграл по всем траекториям, близким к оптимальным. При
этом вблизи точки стационарности ?(т) естественно разложить функционал
Q[r(x)] по отклонениям от нее. По поводу намеченной программы следует
сделать одно замечание.
Прежде всего следует учесть, что точка стационарности функционала Q
сильно вырождена. Действительно, в силу
(5.12) рассматриваемый функционал инвариантен относительно
произвольного поворота траектории как целого. Это вырождение надо учесть
