Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
связана практическая эффективность данного метода расчета.
В дальнейшем мы будем рассматривать случай гауссова поля. Охватывая
довольно широкий круг физических условий, этот случай вместе с тем
интересен и с чисто методической точки зрения. Дело в том, что
характеристический функционал здесь имеет особенно простой вид, что
позволяет сравнительно легко исследовать различные аппроксимации,
используемые на квантовомеханическом этапе решения задачи.
Ограничимся также макроскопически однородными и изотропными системами.
Тогда можно положить
(U(x)) = 0, (5.10)
и характеристический функционал имеет вид (сравните с (II. 7.20))
A (zl) - ехр | - -у- ^ dx dx'I (х) Т- (х, х') / (х') |, (5.11)
где ЧДх, х') есть бинарная корреляционная функция случайного поля:
^ (х, х') = (U (х) U (х')).
В рассматриваемых условиях
ТДх, хО = Чг(|х-х'|). (5.12)
Заметим, что в силу (5.10) начало отсчета энергии совпадает у нас с
перенормированной границей зоны проводимости (или дырочной), отвечающей
вспомогательной задаче об идеальном материале. ("Перенормировка" состоит
в добавлении к Ес (или Ev) среднего значения потенциальной энергии
электрона (дырки) в случайном поле.)
С учетом формулы (5.8) для /(х) находим окончательно
§ 6*. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
173
Соответственно, усредненная функция Грина от совпадающих пространственных
аргументов принимает вид [37]
/¦ ( * * ч
X exp| -J J х2(т)Дг - у ^ dx ^ dx'W (| х(т) - х(т') I) j"
(5.14)
0 0 0 '
В формуле (5.14) мы указали символически нормировочный
множитель N для континуума траекторий х(т), подразумевая при этом
выполнение описанного выше предельного перехода для интегралов,
вычисленных по конечномерному пространству траекторий.
§ 6 *. Качественное исследование усредненной
одночастичной функции Грина
Ряд выводов относительно временной зависимости усредненной одночастичной
функции Грина <Gr(x, \;t)) иногда удается сделать, не вычисляя полностью
континуальный интеграл; явный вид корреляционной функции Д при этом также
не играет роли. Так обстоит дело в тех случаях, когда можно указать
наиболее существенные траектории, дающие основной вклад в интеграл в
правой части (5.14). Для этой цели достаточно проанализировать
сравнительную роль двух слагаемых в показателе экспоненты в (5.14):
t t t
QK = J ^ x2 (t) dx, Qu = - dx ^ сГт'ЧД! x (т) - x (О |). (6.1)
0 0 0
Величины QK и Qn можно назвать кинетической и потенциальной частями
действия (разумеется, последнее наименование носит несколько условный
характер, ибо слагаемое Qn [х(т) ] отвечает мнимому и нелокальному
потенциалу взаимодействия). Качественный анализ роли функционала Qn[x(x)]
требует задания лишь общих характеристик корреляционной функции ЧГ
(Заметим, кстати, что именно эту функцию удобно задавать при
феноменологическом подходе к задаче.)
Будем считать, что Д (х) удовлетворяет следующим условиям:
а) ф-(0) = ф! = <Д2>< оо;
б) Д-(х) монотонно убывает с ростом ] х ];
в) убывание Д'(х) характеризуется единственной длиной |0 = 1 /а; на этой
длине функция 4я убывает на величину поряд-
174 ГЛ TIT ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
г) ЧДх^О;
оо
д) ?(| х \)d\х I < ОО. о
Условие а) в гауссовом поле выполняется всегда; условия
б), в) и г) несколько ограничивают постановку задачи, но все же
охватывают достаточно широкий круг физических систем. Простыми примерами
могут служить выражения
1Р = 'ф1е_а1х1 и Ч" =
Итак, в соответствии со сказанным в предыдущем параграфе, мы пришли к
задаче об исследовании континуального интеграла от сравнительно простого
выражения, в котором вместо случайного потенциала U (х) фигурирует
регулярная функция 4я(х). Характеризующие ее параметры фч и |0 = ос~1
позволяют классифицировать различные ситуации по величине соответствующих
характерных энергий или времен, а также по характерным размерам
существенных орбит - замкнутых траекторий. Выделить существенные
траектории позволяет следующее соображение. Траекториям, проходимым с
большими скоростями | х ], отвечают большие по модулю значения мнимого
функционала QK, что приводит к быстрым осцилляциям подынтегрального
выражения в (5.14) в случае близких траекторий. В результате конечный
вклад в свободную функцию Грина G°r(t) дают лишь орбиты, линейные размеры
которых по порядку величины не превышают л/1 . Однако при учете
взаимодействия со случайным полем, описываемым с помощью функционала Q",
подобные траектории могут оказаться невыгодными. Действительно, пусть
характерный размер траектории есть L. Если aL <С 1, то для всех таких
траекторий аргумент корреляционной функции Ч(|х(т)- х(т/)|) практически
равен нулю, а именно вблизи точки х = 0 слагаемое с 'LF (J х ]) дает
наибольший* по модулю отрицательный вклад в выражение под знаком
экспоненты в (5.14). Таким образом, оптимальные траектории должны
отвечать условию компенсации обеих тенденций - с увеличением размеров
орбит "кинетическое" слагаемое QK приводит к убыванию, а "потенциальное"
