Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
= х0 = 2aR0 и определяются равенствами
= {"(*)=-*"*?!-. (7.30)
О
При интересных для нас значениях |х|^>1, Re х > О справедливо
асимптотическое представление
Мх)= V2ln(l + 4"2/x2) + 2n2/x2(4n2 + x2) + 0(х~4). (7.31)
Пользуясь им, нетрудно убедиться, что, несмотря на наличие множителя п~2
в коэффициентах формы (7.29), последние при-
?7*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ Gr(f) 187
ближаются к единице лишь при п/>,к. (Это отвечает учету только слагаемого
б2QK.) При меньших значениях п существенна роль слагаемого б2Q", причем
коэффициенты при квадратах переменных малы. Так, при г2 стоит множитель
-(1 -bjn2b{) ~ -2(п2- 1)/х2, п"|х|. (7.32)
Это означает, что учитывать искажения формы траектории за счет высших
гармоник необходимо, и существенный вклад дает большое число гармоник.
При этом упрощенный подход, использующий разложения типа (7.32) при всех
п, также недопустим, ибо при "Э>|х| он приводил бы к существенному
завышению результата от каждой гармоники и, в конце концов, к
расходимости континуального интеграла.
С другой стороны, переменная R характеризует при фиксированном t среднюю
скорость движения. По переменной I, отвечающей отклонениям R от Ro, седло
оказывается достаточно крутым. Действительно, коэффициент при переменной
/2 в формуле (7.29) имеет вид
2
0--Т5гН~-3- (7'33)
Обратимся теперь к интегрированию экспоненты от квадратичной формы
(7.29). Прежде всего выпишем "рецепт" интегрирования с учетом выполненных
выше замен. Поскольку убывание подынтегрального выражения exp[62Q] с
ростом /, с\ и gi происходит достаточно быстро (как ехр(-3/2 - Зс2/2-
3g^/2)), возьмем в (7.16) сразу "оптимальные" значения R - R0, ф = О, Ф =
0, а интегрирование по названным переменным распространим на всю ось.
Получим
оо оо оо
32л2/?'п С dl С dg, Г do,
G,(/) = G<°>(0-V- -7=- \ \
л •> ул J л/л J Л/Л
- ОО
х П Г\dCn den dgn dhn dZn rfg"e6!Ql • (7-34)
/1 = 2 *- - со -I
Здесь множитель л-3 относится к каждой шестерке переменных при данном
значении п. Если проинтегрировать по этому рецепту функцию ехр [62QK] в
пространстве гармоник с п ^ 2, то мы получим, конечно, единицу.
Подставим теперь выражение (7.29) в правую часть (7.34). Интеграл по /
дает 1 /д/3, интегралы по е2 и g2, с учетом равенства
1 - {b2 - b2)/Sbi " 3/2, (7.35)
188 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
дают вместе 2/3. Интегралы по переменным гп и г" уже факторизованы и в
совокупности дают множитель
оо
Пц (и) = П [ 1 - Ьп (я)1п% (и)]. (7.36)
п=* 2
Наконец, интегрирование по остальным переменным легко провести, заметив,
что мы имеем здесь произведение независимых интегралов по парам
переменных сп, U+г и gn, h"+2. Произведение одинаковых интегралов от двух
последних пар есть
...I.. I i\ Г ( bn-bn~|Г, &л+2 - bn+2 "1 Г bn + bn Ъ\ bi "|2
W{n+ 1) = L1 --2^67-JL1 - 2("+2)^7J_L 2n(n + 2)bl J •
(7.37)
а произведение их по всем парам переменных, отвечающих отклонениям от
оптимальной орбиты, лежащим в ее плоскости, дает величину
оо
Пв = Па>("+1). (7-38)
П- 1
Оценка величин П1 и Пн приведена в Приложении IX (с точностью до
постоянных численных множителей а± и аи) при
|х|3> 1. Она показывает, что
П± = а±%~3 ехр (vx), Пц = ацХ~3 ехр ?х (v -, (7.39)
Здесь
ОО
V = -Y ^ rfxln[l - ^2-1п(1+х2)] (7.40)
о
есть положительное число, близкое к двум.
Собирая формулы, находим
Gr(t) = iBy'Ht/tc)~V,-'X
х "¦> {- i [т / е"е (2v - } ¦ (7-41>
Здесь В - численная постоянная, равная 8я//2а_1_а||/3 л/3, а у = =
Аз"1/3, где Х3- параметр из (6.7). В рассматриваемом случае Хз •< 1 и 1.
Поскольку в наших условиях |х| = 2а|Я0| = = t/(ntc), выражение (7.41)
справедливо при t tc.
С другой стороны, при функция Грина дается фор-
мулой (7.9). Разумно поставить вопрос о сшивании этих выражений на каком-
либо едином контуре в комплексной плоско-
S 7*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ G r (I) 189
сти переменной t, идущем от нуля и возвращающемся к сю на вещественной
оси t. Такой контур пригоден для определения фурье-образа по времени.
Сшивание подчиним условиям равенства как самих выражений для функции
Грина, так и ее производных. Для простоты будем учитывать лишь основное
слагаемое в (7.9) и только экспоненту ехр ^в (7-41). Тогда точка сшивания
есть
*о = |Че-<я/6. (7-42)
Поскольку |/о/^с| - 1, Re(C/C)>0, это значение дает разумную границу
применимости обоих выражений для Gr(t) на контуре, идущем из точки t = 0
в t = to и оттуда к (-> оо при Im t > 0. На этом контуре мы имеем
Теперь можно определить поправки к плотности состояний, проистекающие
вследствие отличия поведения функции Грина (7.43) на больших временах от
ее поведения при (< (см.
(7.9)). Это различие приводит к следующей поправке к р(?)
при | ? |< v4i:
Др (Е) = 1/2It_3/2('ll5ia2)I/6exp(- 9у/16) X
х [(! )> -(?¦-- sS1" (! Г "№]¦ <(tm)>
Эта поправка экспоненциально мала по сравнению с последним членом в
правой части (7.12).
Таким образом, мы видим, что квазиклассическое приближение дает лучшие
