Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2*. «Подводные камни»
При попытке более тщательного рассмотрения задачи о флуктуационных уровнях возникают некоторые осложнения, связанные с самой природой рассматриваемой системы и неоднократно служившие источником недоразумений и ошибок.
Первое из этих осложнений связано с типом волновых функций, отвечающих дискретным уровням (если таковые существуют). В обычной квантовомеханической задаче о движении частицы в поле силового центра (не обязательно сферически симметричного) дискретным уровням соответствуют волновые функции, принадлежащие L2 и локализованные в пространстве вблизи данного центра. В применении к рассматриваемой нами системе это утверждение, однако, нуждается в разъяснении. Действительно, мы имеем здесь не одну потенциальную яму («центр»), а множество их, причем яма одной и той же формы и глубины (типа) повторяется многократно (в пределе при Q—> оо — бесконечнократно), чем и обусловлено конечное значение концентрации соответствующих уровней. Это означает, что говорить о локализации волновых функций в пространстве здесь можно лишь в несколько условном смысле. Именно, надо рассматривать область конечных размеров, содержащую только одну яму данного типа.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что в пределах рассматриваемой области может находиться (и, как правило, находится) много других потенциальных ям, уровни энергии в в которых, однако, отличаются от уровней в данной яме. Ситуация становится особенно ясной в случае легированного полупроводника, когда потенциальные ямы создаются отдельными атомами примеси. При достаточно малой их концентрации каждому из атомов данной природы отвечает одна и та же система уровней (для определенности будем говорить просто об одном
54
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
уровне). При увеличении концентрации примеси, когда (см. § 1) возникает случайное поле, вступают в игру два эффекта. Во-первых, уровни энергии, соответствующие атомам одной и той же природы, но расположенным в разных местах образца, становятся, вообще говоря, случайно различными. Следовательно, этим атомам соответствуют потенциальные ямы разного типа. Во-вторых, могут возникать комплексы из нескольких примесных атомов, отстоящих друг от друга на расстояние, сравнимое с радиусом локализации электрона на отдельном атоме примеси. Такие комплексы надо рассматривать как потенциальные ямы нового типа; очевидно, образование поблизости от данного комплекса другого в точности такого же весьма маловероятно. Из сказанного следует, что линейный размер рассматриваемой области может значительно превышать среднее расстояние между атомами примеси. С другой стороны, эта область мала по сравнению с размерами всего образца. При термодинамическом предельном переходе объем ее, т. е. объем, приходящийся на одну потенциальную яму данного типа, остается ограниченным. Вместе с тем эта область велика по сравнению с атомными масштабами, и, если интересующий нас радиус локализации не слишком велик, ее можно рассматривать (по сравнению с ним!) как практически бесконечную. Очевидно, так будет обстоять дело для не слишком мелких уровней.
Таким образом, в рассматриваемой системе должны быть по крайней мере три масштаба длины. Первый из них — микроскопический. В задачах с дискретным спектром он определяется типичным значением радиуса локализации. Второй масштаб (мы будем называть его промежуточным) соответствует размерам рассмотренных только что «областей локализации». Третий масштаб — макроскопический. Он определяется размерами образца; именно в объеме, отвечающем этому масштабу, происходит полное самоусреднение. Заметим, что размеры, определяющие первый и второй из указанных масштабов, не носят абсолютного характера: они зависят от энергии электрона. Впредь, говоря о локализованных состояниях, мы будем иметь в виду принятую только что постановку задачи.
Сказанное удобно иллюстрировать с помощью выражения (1.6.9) для одноэлектронной функции Грина. Согласно сказанному в § 1.6, в области дискретного спектра набор чисел Я состоит из самой энергии уровня Ех = W, спинового квантового числа ст* = ст и радиус-вектора центра локализации R* == R. Таким образом, часть функции Грина, соответствующая дискретному спектру, имеет вид
Одискр (Х, X ; Е) — ~9^Г У] р __ w У! ^ W. а (Х ^47, а (х (2*1)
w О, R
§ 2*. «ПОДВОДНЫЕ КАМНИ»
55
Мы написали здесь аргументы волновых функций в виде х—R и х' — R, дабы подчеркнуть, что эти функции локализованы около точек R.
Видим, что при ограничении компонент х, х' пределами указанной выше области и при не аномально большом радиусе локализации в сумме по R в правой части (2.1) заметно отличен от нуля лишь один член. Иначе говоря, дело обстоит так же, как в стандартной «одноцентровой» задаче квантовой механики.
Второе осложнение связано с самим определением понятий дискретного и непрерывного спектров. Дело в том, что разделение энергетического спектра на дискретный и непрерывный имеет строгий смысл лишь в предельном случае системы неограниченных размеров: в системе конечного объема все уровни — дискретные. Поэтому смысл термина «непрерывный» в нашей задаче нуждается в разъяснении. Суть дела, видимо, проще всего понять, рассмотрев сначала пример неслучайного силового поля (например, поля, создаваемого отдельным атомом или ионом) в большом, но конечном объеме Q. Энергетические уровни электрона в таком поле можно разделить на две группы. В первой из них расстояния между соседними уровнями зависят от Q, становясь сколь угодно малыми при Q-voo*). Нормировочные интегралы для соответствующих волновых функций пропорциональны Q. Это означает, что электроны, занимающие уровни первой группы, не локализованы в каких-либо ограниченных областях пространства, а «размазаны» по всему объему. Соответствующие волновые функции при Q-voo выходят из класса Ь2.
