Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
г* ctN + 1)
t = -См — ?м •
(6.13)
40
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Иначе говоря, значения Е суть возможные изменения полной энергии всей системы при изменении числа частиц в ней на единицу. Очевидно, в отсутствие взаимодействия между частицами М = %, а правая часть (6.13) равна одному из введенных ранее собственных значений Е% в согласии с (6.10) и (6.11).
При учете взаимодействия между частицами функция Грина уже не имеет простого вида (6.9). Соответственно и для плотности состояний получается более сложная формула, нежели
(6.11). Тем не менее можно указать некоторые общие свойства функции р(?'), полезные как для конкретного ее вычисления, так и для рассуждений общего характера.
Заметим, прежде всего, что для вычисления плотности состояний можно воспользоваться функцией Грина, вычисленной в произвольном представлении: в формуле (6.5) фигурирует шпур, инвариантный относительно выбора представления.
Обозначим через ? совокупность собственных значений ка-ких-либо одночастичных операторов. Соответствующие собственные функции г|) | могут описывать какие-либо стационарные состояния системы (как в случае (6.8)) или не описывать их — существенно лишь, чтобы г|)5 образовывали полную систему. Тогда в (произвольном) ^-представлении формулу (6.5) можно переписать в виде
Функция ImGr(g, Е) при этом отнюдь не обязана иметь дельтообразный вид*).
Как известно,
б) плотность состояний обращается в нуль при каком-либо значении Е = Е0 тогда и только тогда, когда при Е = Е0 обращаются в нуль все диагональные элементы мнимой части функции Грина в любом представлении:
(6.15а)
(6.14)
Im Gr (I, I; E0) — 0, если p (E0) — 0, и p(?0) = 0, если Im Gr(|, E0) = 0 при всех ?.
(6.156)
*) В частном случае (6.8), (6.9) мы имеем, очевидно,
1 1
§ 7*. САМОУСРЕДНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ
41
Далее, по определению концентрации частиц п интеграл в формуле (6.4) должен сходиться при любых значениях Т и F. Следовательно, плотность состояний ограничена условиями
р(?)ехр(-Я/7)^0, (6.16)
р(?)|?| Г0. (6.17)
? —Г — ОО
Наконец, в задаче с аддитивным гамильтонианом (6.6) плотность состояний есть «чисто механическая» величина: согласно
(6.11) она определяется только энергетическим спектром системы. При наличии взаимодействия между частицами функция р(Я) зависит, вообще говоря, от параметров Т и F.
Плотность состояний (6.5), (6.5') можно использовать для характеристики энергетического спектра системы. Следует, однако, подчеркнуть, что простая связь между р (Е) и кинетическими коэффициентами (электропроводностью и т. д.), о которой говорилось в § 5, в общем случае уже не имеет места. Формально это видно из того, что, например, электропроводность выражается через двухчастичную функцию Грина, которая, вообще говоря, не расцепляется на произведение одночастичных. Суть дела состоит в том, что в кинетике существенны не только положения энергетических уровней, но и вероятности переходов между ними.
Тем не менее указанные в предыдущем параграфе теоремы о корреляции справедливы и в общем случае. Доказательство этого утверждения дано в Приложении I.
§ 7*. Самоусредняющиеся величины
Вернемся к поставленным в §§ 4, 6 вопросам о достоверности результатов, получаемых путем усреднения по всем возможным реализациям случайного поля, и об эквивалентности этого усреднения усреднению по объему образца. Центральную роль здесь играет понятие самоусредняющейся физической величины (И. М. Лифшиц, 1952).
Как и в § 6, обозначим через X набор квантовых чисел, характеризующих стационарные состояния электронов в случайном поле, и рассмотрим какую-нибудь функцию вида
W=1T ? f(Xb...,KY, (7.1)
E\t..Е%п<Е%
при этом f, а потому и F(X), может зависеть еще от каких-либо неслучайных параметров. К числу функций вида (7.1) отно-
42
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
сится, например, интеграл ^ p(E)dE, определяющий полное
— оо
число состояний с энергиями, меньшими Е%, в единице объема системы с аддитивным случайным гамильтонианом (6.6). С функциями вида (7.1) можно связать и используемые ниже (в гл. IV, V) выражения для комплексной электропроводности вещества, а также и другие величины, непосредственно измеряемые на опыте. Каждое отдельное слагаемое в правой части
(7.1) зависит, естественно, от явного вида фигурирующего в выражении (6.6) потенциала V. Иначе говоря, в разных реализациях случайного поля эти слагаемые различны. Однако, в соответствии со сказанным в § 4, статистический подход имеет смысл, если вся сумма (7.1) практически не испытывает флуктуаций, т. е. в термодинамическом пределе при Q—>оо оказывается одной и той же для всех реализаций рассматриваемого случайного поля (исключая, может быть, множество реализаций меры нуль). По определению функцию вида (7.1) называют са-моусредняющейся, если при ?2-voo она стремится к некоторому неслучайному пределу. Этот предел, очевидно, есть не что иное, как значение физической величины, описываемой выражением
