Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В рамках принятой постановки задачи мы приходим к уравнению Шредингера с гамильтонианом (1.6.6). При этом функция У(х) не периодическая; вообще говоря, она содержит и случайную часть. ¦ --
§ Т. СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ (КАЧЕСТВЕННЫЕ СООБРАЖЕНИЯ)
45
Рассмотрим сначала картину, которая получается, если при определении энергетического спектра трехмерной системы случайной частью потенциальной энергии пренебречь (как указывалось в § 1.1, для этого могут быть известные основания). Мы приходим тогда к задаче о поведении электрона в заданном не периодическом поле, причем система, которой он принадлежит, имеет макроскопические размеры. В силу последнего обстоятельства очевидно, что — по крайней мере в некоторой области энергнй—’Энергетической спектр носителей заряда будет непрерывным. При определенных соотношениях между параметрами системы в спектре могут возникнуть и запрещенные области. Если уровень Ферми попадет в одну из них, то система будет полупроводником.
В соответствии со сказанным в § 1.1, такая постановка задачи представляется особенно уместной в случае систем с преобладанием короткодействующих сил (гомеополярные материалы), коль скоро концентрация примесей и/или структурных дефектов в них достаточно мала*). При этом естественно воспользоваться одним из вариантов хорошо известного метода сильно связанных электронов [1, 3]. Расчеты такого типа были выполнены в ряде работ. Как и следовало ожидать (подробнее см. § 6), оказалось, что запрещенная зона (понимаемая так, как указывалось в §§ 1.5, 1.6) действительно может возникнуть; при этом условия ее возникновения и ширина ее определяются только свойствами атомных волновых функций и характером расположения атомов в пределах первой координационной сферы. Иначе говоря, оказалось, что решение вопроса о том, будет ли данное вещество полупроводником или металлом, определяется ближним порядком.
В качественной форме эти соображения высказывались уже давно (А. Ф. Иоффе и А. Р. Регель, 1960). Однако далеко не тривиальный вопрос о виде волновых функций электронов в неупорядоченных системах без случайного поля и о вычислении вероятностей различных процессов лишь сравнительно недавно стал предметом серьезного изучения.
Как ясно из предыдущего, в веществах рассматриваемого типа никаких «хвостов» в коэффициенте междузонного поглощения света быть не должно: ввиду исчезновения плотности состояний в запрещенной зоне вероятность междузонного оптического перехода (а с ней и коэффициент поглощения) должна обращаться в нуль при частоте ©о, отвечающей ширине запрещенной зоны. Иначе говоря, принятый выше приближенный
*) Роль случайного поля в материалах названного типа рассматривается в § 8. При этом получаются и количественные оценки, из которых видно, когда может быть оправдана принятая здесь аппроксимация.
46
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
подход может оказаться приемлемым лишь при рассмотрении материалов типа А) (§ 1.3, п. 1), стр. 18).
Обсудим теперь, как меняется энергетический спектр системы при учете случайного поля. Здесь удобно рассматривать систему, получающуюся в результате «порчи» некоторого «идеального материала» при появлении случайного силового поля. В условиях, когда последнее создается примесными атомами, вводимыми в идеальный кристалл, эта операция имеет наглядный смысл — она состоит просто в легировании образца. В общем случае представление об идеальном материале, из которого получается рассматриваемая система, носит формальный вспомогательный характер*). При рассмотрении макроскопически однородных систем такое представление всегда можно ввести **).
Очевидно, случайный характер потенциальной энергии носителя заряда может привести к возникновению в образце беспорядочно разбросанных потенциальных ям и горбов случайной глубины (высоты) и ширины. Это особенно ясно видно в случае поля типа (I. 1.6): хаотичность фаз <р9 приводит к тому, что при одних значениях г гармонические слагаемые в правой части
(1.1.6) интерферируют с усилением, а при других — с ослаблением. В этом смысле всякое случайное поле аналогично полю, создаваемому беспорядочно распределенными атомами примеси. При достаточно большой глубине и ширине потенциальных ям в них могут образоваться локализованные электронные состояния, подобно тому как они возникают вблизи примесных атомов того или иного типа. Соответствующие уровни называют флуктуационными.
Сказанное, равно как и в дальнейшие соображения, излагаемые в этом параграфе, относится к трехмерным системам. В одномерном случае дело обстоит иначе: как известно ([19], § 45), в одномерной потенциальной яме общего вида всегда имеются дискретные уровни. Более того, можно ожидать, что в неупорядоченных одномерных материалах все дозволенные состояния квазичастиц будут локализованными. Действительно, допустим сначала, что в данном случайном поле могут возникать сколь угодно высокие и широкие горбы потенциальной энергии. Тогда электрон в одномерной системе неизбежно окажется «запертым» между двумя такими горбами и движение его будет финитным. Фактически сколь угодно широких и высоких потенциальных горбов, разумеется, не бывает. В макроскопической системе, однако, заведомо будет сколь угодно много горбов
