Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые применения коэффициентов Клебша — Гордана 313
Полную интенсивность рассеянного света можно представить в виде
/ ~ S I esaPapeip |2, (2.1)
a0
где a, Р определяют декартовы компоненты, а Рар— тензор комбинационного рассеяния. Тензор Рар зависит от координат ионов и может быть разложен в ряд Тейлора по смещениям ионов,
или, что эквивалентно, по фононным переменным где
cr обозначает ряд представления D(/), по которому преобразуется Таким образом,
p.«=^+j;ps(')q(')+
+^*СНЖ)+¦¦¦' м
1'о'
где
Рае, -
*<)„’ ¦Ч.НЯ
(2.3)
Коэффициенты обусловливают однофононное рассеяние,
р(2) — двухфононное и т. д.
Поскольку тензор определен для равновесных положений, он инвариантен относительно операций симметрии кристалла. Следовательно, произведение P“^0Q(a) пРеобРа-
зуется по представлению D<Z). Однако Рар представляет собой симметричный тензор второго ранга, который преобразуется по симметризованному произведению векторных представлений Следовательно, для любой групповой операции
PR имеем
= <2-4)
¦ ш
314
Дополнение I
Поскольку координаты Q
С)
независимы, имеем
? Й» ( ' ) D«> «)и = ? [Dw №)„ 0м Ми]г PS ( ' ). (2.5)
О аР
Р“С ) “ ? [°1Я <я)“D(" °1'’ W)«"( д ) • <ад
торая осуществляет полное приведение произведения [?)(и) 0 0?И°)]2. Мы можем воспользоваться теперь свойствами коэффициентов Клебша — Гордана, описанными в т. 1, § 18, в частности уравнением (т. 1, 18.23). Суммируя уравнение (2.6) по R, имеем
деле (2.6) представляет собой систему уравнений для каждой операции симметрии R\ поэтому необходимо обычным образом найти решения этой системы, устанавливающие связь между элементами тензора. Однако уравнение (2.7) более полезно, поскольку оно тождественно удовлетворяется подстановкой
где А(1у) не зависит от индексов (а, р, ц.). Напомним, что индекс у определяет кратность. Мы видим, что при отсутствии кратности (когда каждое представление D(/) встречается в разложении произведения только один раз) тензор
Pal равен константе, помноженной на коэффициент Клебша — Гордана. В общем случае Рав является линейной комбинацией коэффициентов Клебша — Гордана. Эти коэффициенты приведены в книге [28].
До сих пор мы полагали, что представление D(0) является неприводимым. Можно обобщать теорию на случай более общих тензоров рассеяния, считая Dw суммой неприводимых представлений DW. Тогда, вводя обозначение
Умножая обе части уравнения (2.5) на Dil) (R)дй и суммируя по р., получаем
арД
Обозначим через ylvXv]! матрицу Клебша — Гордана, ко-
(2.8)
v
(2.9)
Некоторые применения коэффициентов Клебша — Гордана
315
имеем
РЙГЭ (I ) = ? А (ir/Y) С- (2-10)
V
Индексы ia и i'p относятся к строкам неприводимых представлений Z)(<) и /)<г Они соответствуют обычным декартовым индексам, поскольку базисные функции, преобразующиеся по
строкам представлений Z)(,) и Z)(< \ либо представляют собой компоненты вектора (x,y,z), либо связаны с (x,y,z) унитарным преобразованием. Дальнейшие обобщения теории связаны с учетом эффектов обращения времени [25, 26].
3. Тензор бриллюэновского рассеяния
При определении тензора комбинационного рассеяния первого порядка мы рассматривали возбуждение оптического фо-нона, описывающего смещения атомов решетки и обусловленное ими возмущение периодического потенциала и электрон-решеточное взаимодействие. Возбуждающий и рассеянный свет характеризуется малыми волновыми векторами k <С Вн (где Вн — вектор обратной решетки), поэтому фонон также имеет малый волновой вектор, который полагается равным нулю. Для акустических колебаний с k = 0, которые играют аналогичную роль в бриллюэновском рассеянии, главный член электрон-фононного взаимодействия пропорционален компонентам деформации. Если для комбинационного рассеяния тензор Рар разлагается по степеням смещений, то для бриллюэновского рассеяния необходимо проводить разложение по степеням
dQ ^ ^ 'j/dk1 = klQ ( а • Здесь Q ^ ^ ^ — координата акустического фонона, преобразующаяся по строке о векторного представления a kl — волновой вектор, преобразующийся как
i-я компонента D^v).
можно записать в виде
Разложение тензора рассеяния Рар по степеням виде
раэ=р2& + 5>5*'<г(°). (з.1)
г 7„ Ч-, • (3-2)
Oi
где
Ла
¦к:)]
Коэффициенты Клебша — Гордана для группы Та
Таблица I
г»хг4 \и.и' 1. JC 1, У 1. г 2, JC г. » 2, г
rt - V3/2 0 0 -1/2 0 0
11 0 л/3/2 0 0 -1/2 0
tS 0 0 0 0 0 1
г5 1 X -1/2 0 0 V3/2 0 0
Tl 0 -1/2 0 0 - -v'3/2 0
г I 0 0 1 0 0 0
„Г* X Г" 11 *W'. «V 1. * 1. V U г 2, X 2. и 2, г 3, х ¦i. у 3, г
Г2 1/л/З 0 0 0 1/л/з 0 0 0 1/л/З
т\ 1/V2 0 0 0 -1/V-r 0 0 0 0
Г| I/Ve 0 0 0 1/л/б 0 0 0 — V27л/3
т\ 0 0 0 0 0 1/л/2~ 0 1/л/2 0
Некоторые применения коэффициентов Клебша — Гордана
о о О О О
о о о о
1
~> о о о
[N
о о > о о
О О О о о
1см 1сч
О О О ?¦
I.
I<N
о о о
7
1сч Ы
о о ° _>
о о о о о
-г z* л Н \Л Sjj ю N
с-н pi
» с1 &ч Ч>
хч
г Д
s?
>
1то
>
|<M
>
о о о о о о о
о о о "?*¦ о о
о о
о о о о
<> о о
О > О О
I то I to I <м ^ '^•'>•0 00000
о о о о о
> О о '>
Icq Iim
о о о о 'г* о о 'г*’ о
1(М |(М
ооооо^оо ''?•
