Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
3. Выделение люминесценции
Формулы предыдущего параграфа, соответствующие второму приближению метода возмущений, хорошо известны и служат для описания рассеяния света. Ниже будет показано, что эти же формулы описывают и двухфотонный трехступенчатый процесс поглощения — люминесценции [поглощение (1), релаксация (2), люминесценция (3)] [5—7].
Возьмем для простоты случай невырожденных электронных состояний и ограничимся приближением Кондона {М%, М\' = = const). Тогда
а(ц, т, x') = -^-e-v(t+^(n, т, т'), (10)
где
A ((X, Т, т') = {eiH^’eiH^e-iHvxe-iHa (ц+г'-т)^ (11)
В = | (гМ) (г'М) |2, (гМ) = ? гкМк. (12)
к
Используя переменные s и </ = n’+s', коррелятор Л (ц, т,т7) (11) можно привести к следующему виду:
Д (|i, s, у) = ft (s + F'y (0))^, (13)
Резонансное вторичное свечение примесных центров кристаллов 331
где (.. .)i = Sp (pi ...) — знак квантовостатистического усреднения по колебательным состояниям возбужденного электронного уровня; p1 = Z1~1exp(—HljkT') — колебательная матрица плотности в возбужденном электронном состоянии; Zi — = Sp {e~HJkT), {t)i —eiHltF^e~lHvt — оператор в момент времени t в представлении Гейзенберга,
F ==
F'y = (Zi/Zo) e~^kTe^TFy.
Выделим в корреляторе A (fi, s, у) незатухающую при s -> оо часть
A0 (ii, у) = \шА (|x, s, у).
S-> оо
Учтем, что предел s—+oo соответствует усреднению по времени s за бесконечно большой промежуток времени. Но, согласно эргодической теореме [16], среднее по времени равно среднему по ансамблю. Следовательно,
-4° (IX, у) = «>, (f;>, = (Л-'П (14)
Полученная формула соответствует значению корреляционной функции после установления теплового равновесия по колебаниям в промежуточном (возбужденном) электронном состоянии,' т. е. после окончания энергетической релаксации в этом состоянии. Отметим, что мультипликативная форма Л°(ц, (/) означает отсутствие корреляции фаз первичного и вторичного фотонов. Это и естественно — энергетическая релаксация всегда приводит и к фазовой релаксации. Подчеркнем также, что формула (14) справедлива только для достаточно больших систем с непрерывным энергетическим спектром. В противном случае коррелятор А (ц, s, у) будет периодически изменяющейся функцией s с периодом, определяемым циклом Пуанкаре.
Разность A'(\i, s, у) — A (fi, s, у) — AQ(\i,y) описывает изменение корреляционной функции в процессе энергетической (и сопровождающей ее фазовой) релаксации. Область времени s, в которой A'(\i, s, у) заметно отлична от нуля, удовлетворяет условию s^rr'i где Г; — характерная скорость энергетической релаксации. Хорошо известно, что в центрах люминесценции отмеченная скорость обычно гораздо больше скорости радиационного затухания:
r,/Y > 1, (15)
причем это неравенство весьма сильное (Гг/у ~ 104— 107). Центры, удовлетворяющие условию (15), мы называем быстро-релаксирующими. Поскольку коррелятор А'(\х, s, у) заметно
332
Дополнение 2
отличается от нуля лишь в области 5 ~ ГГ1» в быстрорелакси-рующих центрах интенсивность спектра, описываемого Л'((х, s, у), на много порядков меньше соответствующей интенсивности спектра, описываемого Л°((х, у). Таким образом, в случае быстрорелаксирующих центров коррелятор Л°(|х, у) описывает основную по интенсивности часть излучения, определяемого формулой второго порядка. Покажем, что эта часть соответствует обычной люминесценции (OJI).
Подставим в (5) Л°((х, у) вместо Л((х, т, т') и перейдем к переменным интегрирования s и у.
оо оо M-+2S
/ол (©о, й) == $ d\i ^ ds ^ dyem-my-^A0 (jx, у). (16)
— оо о W—2S
Учтем (14) и перепишем <Fy)0 в виде
00 00
{Ру)о = S W <М, в (и' - У) = -ш S S W ^ <М е‘ M v-
— 00 —00
Подставляя эту формулу в (16) и интегрируя сначала по у, а затем по s и v, получим
00 Ой
/ол (©О, = 5 dn'e-l*»'<F*) х 2-Г 5 ^>1 e_Y ''•
— ОО — оо
Если еще учесть, что в спектре поглощения центров линии с шириной c<v обычно отсутствуют, то можно принять v||x — ц'| «
^ V (IМ-1 +1 I) - В результате выражение для /ол (соо, ?2) при-
водится к виду
/ол (©о, = -Jj- % (со0) J (й), (17)
где
ОО
x(«,0) = i2f \ йц'е-1^'-У 1^1<егя.!*'е-^'>0
—оо
есть спектр поглощения, а
оо
/(?2) = -i- | ц | (ешойе-шл)! (18)
—оо
— нормированный на единицу спектр люминесценции [17]. По-явление в (17) множителя х(соо) имеет очевидный физический смысл: х(соо) определяет число фотонов, поглощаемых центрами люминесценции из первичного потока. Если теперь просуммировать полученное выражение по направлениям поляризации и из-
Резонансное вторичное свечение примесных центров кристаллов 333
лучения, то множитель 3/8я в (17) сократится и останется лишь произведение и(а>0)/(Й). Так как спектр люминесценции в (17) нормирован на единицу, интегральная интенсивность люминесценции, как это и должно быть из физических соображений, совпадает с вероятностью поглощения фотона возбуждения [5,6].
Таким образом, мы пришли к выводу, что формула второго порядка для резонансного рассеяния действительно описывает и ОЛ, причем в случае быстрорелаксирующих центров ОЛ дает основной вклад в интегральное сечение резонансного рассеяния.
