Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
смещении.
Примером может служить круглый диск с отверстием, запрессованный на
жесткий вал. На внутреннем контуре (Si() задано радиальное перемещение,
на внешнем контуре (S/?) заданы нагрузки (напряжения равны нулю).
Кроме основной смешанной задачи встречаются более сложные смешанные
задачи, когда на одной и той же части поверхности тела заданы частично
смещения (например, нормальное перемещение), частично напряжения
(например, касательное напряжение).
Принцип Сен-Венана. Решение граничных задач связало с математическими
трудностями. Большое значение имеет возможность некоторого изменения
(ослабления) граничных условии, определяемая принципом Сен-Венана:
статически эквивалентные системы нагрузок, действующие на небольшой части
поверхности тела, в некотором отдалении от последней [на расстоянии,
сопоставимом с ее поперечным размером) приводят к практически одинаковым
напряженный состояниям.
Статически эквивалентные системы нагрузок имеют одинаковые главные вектор
и момент. Предполагается, что поперечные размеры рассматриваемой
небольшой части поверхности тела малы но сравнению с характерными
размерами всего тела. Строгое доказательство принципа Сен-Венана
отсутствует. Однако принцип Сен-Венапа хорошо подтверждается имеющимися
точными решениями частных задач и Экспериментальными данными.
Начальные условия. При рассмотрении динамических задач необходимо задать
в начальный момент времени 1 = 0 смешения и скорости.
30
Теория упругости
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ.
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Теорема Клапейрона. Потенциальная энергия тела равна половине
произведения внешних сия на вызванные ими перемещения, т. е.
J = (Xu 4- Yv+Za) av -
V V
+ j (Xnti 4- Y"v •- Z"и) rfsj . (21)
Теорема взаимности работ (теорема Бетти)
Пусть на тело действуют две системы нагрузок:
1) Хп, Yn, Zn\ X , Y, Z (соответствующие им смещения равны и', v', w')i
2) Хп, Yn, Zn\ л , Y , Z (соответствующие им смещения равны и", v'\ w").
Из независимости потенциальной энергии тела от порядка прохо-ждени я
нагрузок следует, что работа сил первого состояния на смещениях второго
состояния равна работе сил второго состояния на смещениях первого:
j (х'и Y v" -j- z'w ) dV -f- J (Xnu 4- Ynv 4- Znw )dS =
V .S'
= [ (X u + Y v + zV) dV -f j {x"nu -f Ynv + Z'"w) dS. (22) \ s
Теорема единственности. Решение уравнений теории упругости [уравнений
Ламе (14) или уравнений в напряжениях (12) гл. 1, (17)] для рассмотренных
выше основных задач является единственным (с точностью до перемещений
твердого тела). Эта теорема верна при не слишком больших нагрузках - пока
можно не учитывать изменений в конфигурации тела при составлении
уравнений равновесия. Для гибких тел возникновение новых форм равновесия
при достаточной интенсивности нагрузок является весьма важным для решения
вопросов прочности.
Помимо общего значения, теорему единственности широко используют при
решении конкретных задач. Иногда удается частично "угадать" форму решения
(см., например, полуобратный метод решения задач кручения, изгиба и т.
д.). Если при этом можно удовлетворить всем дифференциальным уравнениям и
граничным условиям задачи, то, в силу теоремы единственности, тем самым
найдено искомое решение.
Принцип минимума потенциальной энергии системы (принцип
минимума для смещений). Из всех кинематически возможных систем
перемещений, принимающих заданные значения на поверхности тела,
Общие теоремы. Вариационные методы решения 31
только действительные перемещения сообщают минимум потенциальной энергии
системы
Кинематически возможные перемещения непрерывны и удовлетворяют заданным
граничным геометрическим условиям.
Здесь имеет место абсолютный минимум.
Это вариационное уравнение эквивалентно дифференциальным уравнениям
равновесия [(12) гл. I ] и условиям равновесия (19) на поверхности тела.
Это уравнение является следствием начала возможных перемещений.
Принцип Кастнльяно (принцип минимума для напряжений). Из всех систем
напряжений, находящихся в равновесии с заданными объемными и
пмерхн/млпными силами, только действительная система напряжений сообщает
минимум дополнительной работе
Поверхностный интеграл берут по той части поверхности, на которой заданы
перемещения. Если рассматривают первую основную задачу (Su = 0) или на Su
смещения равны нулю (опоры), то реализуется минимум потенциальной энергии
тела
Вариационное уравнение Кастильяио эквивалентно условиям сплошности.
Теорема Кастнльяно. Если на тело действуют обобщенные сосредоточенные
нагрузки Q, ({ = 1, 2, 3, . . .), а на Su смещения равны нулю (опоры), то
где - обобщенные перемещения.
Принцип Гамильтона. Пусть упругое тело находится в состоянии движения;
его действительное движение характеризуется перемещениями и, v, w.
Сравнивая это поле перемещений с близким кинематически возможным нолем и
-\- б к, v + б и, w - б и" таким, что б и = &v = ~ &w ~ 0 для заданных
моментов времени /0 и tL, можно показать,
что для действительного движения интеграл ' - А -г W) dt при*
