Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(23)
j dV - j {Хпи -i- Ynv + Znxo) dS = min. (24)
(25)
нимает экстремальное значение, т. е.
32
Теория упругости
здесь I?' - упругий потенциал тела; Т - кинетическая энергия тела; А -
работа внешних сил;
А - | (Хц + Yu + Zw) dV + | (Х"к + Y" v + Znm dS. (28)
Вариационные методы решения задач теории упругости (Ритца, Галеркина,
Трефца) см. в работах (5, 9|.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
В теории упругости к плоской задаче относят задачу о плоской деформации и
задачу о плоском напряженном состоянии. Обе задачи приводят к одной и той
же математической проблеме.
Плоская деформация имеет место в длинном прямом цилиндре (с осью г) при
условии, что составляющая смещения и> = О, а внешние нагрузки не зависят
от г. причем Z,j -=¦ О, Z О. Следовательно.
= Уу, = 0;
ху, = 0; ;(Ок + Оу).
(20)
Длинная плотина, работающая в условиях плоской деформации, схематически
показана на рис. 1.
Если закрепления концов таковы, что условие w = 0 не выполняется
(например, концы свободны), то рассматриваемую задачу можно решать в
условиях плоской деформации, вычислить согласно равенствам (29) осевое
усилие Р и затем наложить на это решение состояние надлежаще выбранного
одноосного растяжения (например, для свободных концов - растяжение силой
Р). Суммарное решение по принципу Сен-Венана будет справедливо в
некотором отдалении от концов.
Дифференциальные уравнения равновесия имеют вил
ox ' ду дх ду
Соотношения закона Гука также упрощаются;
ди . dv
. / ди , dv \ п di °'=х('аГ + кг) + 2,' 7S А' \ , " до ду ) fl ду
ду \
м(
(30)
(31)
Плоская задача
33
Уравнения плоской деформации в цилиндрических координатах г, у, z имеют
вид
да, I
~дГ г дц>
I да. дхг(р
Г д tj ¦ + ~дГ
- + Л, = 0;
H + Av = 0; г ди и I до \ да
°' = ^("5r + T+T"a^j ^17;
у ( dll и 1 do \ / u I
а'~ \ дг г ' т * dtp / (гг
(I да dv v \
-¦-ъ 1-37---;
(30а)
(31а)
Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинах со
свободными от нагрузки основаниями; пластина деформируется нагрузками,
параллельными основаниям и симметричными относительно срединной плоскости
(рис. 2).
Принимая срединную плоскость за плоскость ху, имеем на основаниях (т. е.
при г -
= + Л/2)
oz = Ххг = Хуг = 0.
Усредняя все величины по толщине пластины, получим уравнения равновесия
(30) и соотношения
Ох
. ( ди . dv \ . " di
= '• \Sr + -of)+2'l-J,
( ди dv \ dv
°у ~~ ( дх 0у ) ' ^ ду
( ди dv \
(32)
где положено
34
Теория упругости
а знаки усреднения инущепы Ьслн объемные силы распределены равномерно по
толщине, то уже на небольших расстояниях от контура средние значения
напряжений ох, оу, тху и смещений и, ив силу при и ципа Сен-Венана мало
отличаются от истинных
Уравнения плоского напряженного состояния имеют тот же вид, что и
уравнения плоской Деформации, лишь н уравнениях (32) стоит коэффициент к'
(вместо А.). В дальнейшем рассматривается система уравнений плоской
деформации. Для перехода к плоскому напряженному состоянию необходимо
заменить к на к' н учесть, что в плоском напряженном состоянии ог = О.
Уравнения плоской задачи в смещениях следуют из уравнений Ламе (13):
(к -f- р.) 4- цДа +- X - 0;
(?¦ + И) -JJ- + М**> + У = ".
где Д - оператор Лапласа для двух переменных
д_ д2 , д*
** + dtp '
(И)
ди
дх
ду *
В полярных координатах г, "р уравнения в смещениях имеют вид де / и 2 ди
(X |Х)
де. /и 2 ди \ .
135)
ди
ГА? е = -вг
силы ПО осям г и <р,
* г Т , с)<р
Хг. Ху - составляющие объемной
а2
3/-2
Уравнения плоской задачи в напряжениях. К уравнениям равновесия (30)
следует присоединить условие сплошности
Д (ож -f ау) = -
2(Mji) (_______ _____
X + 2ji V дх ^ ду
дХ 0У \ + Йи J *
(36)
вытекающее из уравнений Бельтрами-Митчелла (17).
К случаю отсутствия объемных сил приводят подысканием какого-нибудь
частного решения уравнений Ламе
Плоская задача
35
(34), если задача решается в смещениях, или какого-нибудь частного
решения о?°\ о* . уравнений (30) и (36), если задача решается в
напряжениях. Разыскивая общее решение в виде
и = -р ; в - -j- w = a;*1* ---
или соответственно
<т = о*1*-I-о(0>; .• т -т<1) -4-т<0)
°Х X I иА-............ ху тх у ^хху
получим для величин со штрихом однородные уравнения Ламе (в смещениях)
или однородные уравнения (30), (36). При этом несколько усложняются
граничные условия.
Случай силы тяжести: X = 0, Y = -pg, где р - плотность; g - ускорение
силы тяжести. Частное решение уравнений в напряжениях
of1 -И of1 = №У
Случай центробежной силы: Х= ры-л\ Y - роз2р, где to - угловая скорость;
осью вращения является ось г. Тогда
^-тгаг'-'2! л* "<"> = -<*+л*
Функция напряжений (функция Эри). Дифференциальные уравнения равновеси л
(30) при отсутствии объемных сил удовлетворяются при подстановке
д*ф _ д*Ф а2Ф
°х ~ ду* * °!> ~ дх- ' %ху ~~ дхду '
Из условия сплошности вытекает, что функция напряжений Ф удовлетворяет
бигармоническому уравнению ДЛФ = 0
или в развернутом виде
д4Ф " <НФ а4Ф
Т^+2 *Г^+-^Г = 0- (34
В- полярных координатах г, "р имеем
