Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
1962
7 Т г Vi о hi г н к о С 11. Теория упругости. М . ОНТИ, 19.17.
8. Cosserat L., Cos sera t И. Theorie des corps dcformables. Paris,
1909
Глава 2
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Задачей теории упругости является точное количественное описание
деформированного и напряженного состояний упругого тела, испытывающего
внешние воздействия. Ограничимся рассмотрением малых деформаций упругого
тела, когда справедлив закон Гука
ЗАКОН ГУКА
Упругий потенциал. Из основных законов термодинамики следует
существование такой положительно определенной функции W компонентов
деформации, что
dW dVP _ dW ...
°х дех ' °у дс.у ' ' ' м хг духг
Функцию W называют упругим потенциалом; W - 0 только в том случае, когда
все компоненты деформации равны нулю.
Обобщенный закон Гука предполагает линейную зависимость компонентов
напряжения от компонентов деформации
сх - Сцвх + СцЯу -г С13ег -J- Сг4у^г -Ь б-'i"Улг + |
Оу =¦ (-21&Х "Ь ^22&у -}-•••-}- С2йулг/;
X*tj - ^CleX -|- Св28j, + • • • + CuvYxy.
Вследствие существования зависимостей (I) должно быть
Си = Сii, о. /=1.2. 3). (3)
Благодаря равенствам (3) число упругих постоянных С, / сокращается до 21.
Упругие постоянные, определяемые в условиях изотермического или
адиабатического процессов, различаются; эти различия, однако,
незначительны.
Упругий потенциал W является однородной положительно определенной
квадратичной формой, имеющей нид
w = ~2~СиЕх + сиехеу Н-----------Ь С1(РхУхо +
\ С22*4/ --------+ С2ЬеуУху +
+ 4С66\л%- (4)
Упругий потенциал всего тела
W = f W <!V,
v
где V - объем тела; dV - элемент объема.
Упругий потенциал можно также представить н виде (формула Клапейрона)
V' ---- (о, е" -J- ОуЕу + огег -f tXhyKy -j- хугууг + Хх2ухг).
Уравнения (2) можно разрешить относительно компонентов деформации;
последние будут линейными функциями компопентов напряжения. Потенциальная
энергия W, если перейти в выражении (4) к напряжениям, будет однородной
положительно определенной квадратич ной формой компонентов напряжений.
При этом справедливы формулы Кастильпно
dW _ 0W _ dW
и
Некоторые случаи упругой симметрии. Одна плоскость упругой с и м м е т р
и и. В этом случае в произвольно выбранной точке тела любые два
направления, симметричные относительно указан ной плоскости,
эквивалентны. При этом число независимых упругих постоянных сокращается
до 13.
Ортотроп н ое тело характеризуется тем, что в каждой его точке имеются
три ортогональные плоскости упругой симметрии. Число независимых упругих
постоянных уменьшается до 9. Имеются три главные направления упругости.
Закон Гука имеет вид (в главных осях х, у, г)
24
Теория упругости
причем из независимости потенциальной энергии элемента от порядка
приложения напряжений следует, что
г ~ ^3vas'. ?*vw -* fiv3il (7)
^lV21 - f 2V1S
здесь ?2, E9 - модули упругости; Gn, G23, C,3 - модули сдвига; vi2. v2l,
vJ3, vai, v23. v32 - коэффициенты Пуассона.
Трансверсально-изотропное тело характеризуется наличием плоскости упругой
изотропии, т. е. имеется ось симметрии г, расположенная так, что все
направления, перпендикулярные к ней, эквивалентны. В этом случае 1
. V's
vi°4>) jr'
02
; -IT- К- - vi(r)*) - 1У~ °г*
Уи*
I
С,
1
сг
1
G,
(8)
Криволинейная анизотропия имеет место в тех случаях, когда материал
обладает какой-либо симметрией, но оси симметрии в различных точках тела
имеют разные направления. Наибольший практический интерес представляют
цилиндрическая и сферическая анизотропия 16, 8, 12 J.
Изотропное тело характеризуется эквивалентностью всех направлений. Число
независимых упругих постоянных равно двум. Закон Гука принимает вид
е* = -jr ~ v + a*)l; i Уху - ~Q *ху>
= -g" l°i/ - v + Сг)\, 1 Ууг ~~ ~G Хуг' (9)
1а* - v + °у)У' 1 Y""TT Тхг*
где Е - модуль упругости; G - модуль сдвига; v - коэффициент Пуассона.
Относительное изменение объема пропорционально среднему давлению
- ЗАо, о = (о* -1 оу -f с?),
(Ю)
где к - -
- коэффициент объемного сжатия.
Решая равенства (9) относительно напряжений, получаем
ах Хе + 2рех о у = Хе + Чргу с г - Хе + 2ре;
Хху = ]\Уху'у хуг - PYyzi тхг = РТ**"
(in
Закон Гука
25
где А, в [i= G - упругие постоянные Ламе. От одних постоянных к другим
переходят по формулам табл. 1.
1. Упругие постоянные
Постоянные Формулы перехода для систем
Е; -V й
Модуль упругости Е и. |х <ЗА,+ 2м) А. + Й
Коэффициент Пуассона v V А 2 а ч- й)
Модуль сдвиг а (1 = р Е 2 (1 + v) и
Постоянная Ламе К Ех (1 +v) (I -2V) а
Коэффициент объемного сжа- I - 2г I
С ЗА, ->й
(12)
Упругие постоянные положительны, причем для реальных мате риалов 0 < v <
0,5.
Для упругого несжимаемого тела v = 0,5.
Упругую потенциальную энергию единицы объема изотропного тела определяют
но формулам
w = Ж Г°* + al+ - 2v (a*as' + аи°' "г а*0^ +
+ *d+v)(^ + ^ + tL):
№ ~ С [ 'i + ri 1 *5 J TT2v *J + T W" + Yw + V") j :
IV' 3 , ¦> 1 2
Среднее давление о и интенсивность касательных напряжений тi определены в
гл. I, формулы (6), (8).
В последней формуле первое слагаемое - упругая энергия изменения объема,
