Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
приближенными методами с помощью электронных вычислительных машин.
Рассмотрим многосвязную область S, где L = Ly\- Lz-\--f- Z-m+
полная граница области. Предполагаем, что каждый из контуров ?,/ имеет
кривизну, удовлетворяющую условию Гельдера 110].
В случае первой основной задачи [20, 21 ] решение представляется в виде
ф(г)
_ 1 Г U}(t) dt 1 Г со (0 dt
2л/ J / - г 2л/ J t - г
1
2л"
Ы (/) dt (t-zy*
/=i
*>1
I 7 -г:'
(61)
где со (/)-функция точки контура, подлежащая определению; г/ -
произвольно зафиксированные точки областей Sf^, j = I т (конечные
области, ограниченные контурами Lj), a 6/ - действительные постоянные,
связанные с со (/) следующей зависимостью
bj = i f {со (/) dt - со (/) dt) (Z =1,2, . . ., га).
Исследование рассматриваемой плоской задачи сводится к решению
интегрального уравнения Шермана
If , i - t0 i ('-__ . t - t0
• <" + ^ J - W й to - 5Г J - (l>" -
Ll '
-?"U'o~'i 'о-*, \ 'o'2,
- C* =/ (/") на ?*, (fe = I, 2,
(62)
Дополнительные сведения по плоской задаче
51
где Xjn+i - 0, а неизвестные постоянные С* связаны с искомой функцией в)
(0 соотношением
С*-- | <о (<)<й, (*=1,2.т)', (63)
^ - дифференциал дуги L*.
Условие (63) будет всегда выполняться, если будет соблюдено условие
равенства пулю главного момента внешних усилий.
В случае второй основной задачи функции ф (г) н ф (г) разыскиваются •
виде
(г< " -йг I + S А'1п (г- ч);
L /=I
*" - ¦<м>
i. L
-2йг1 тг^"г-2 хД/1п (*"*')¦
где И/ - постоянные.
При этом А/ связаны с искомой функцией со (/) соотношениями
Л/ = J со (0 ds.
(65)
Предполагается, что со(<) имеет производную со'(0. удовлетворяющую
условию Гельдера [101.
Исследование поставленной задачи сводится к решению интегрального
уравнения
хсо (/0) -f- - \ <о (<) d In
1
2л i
со (t)dj--i2-}-
t Co
g(t0) на L, (66)
где In (C0 - г;.) -f In (/ - г ) - однозначная функция, равная
предполагаем, что заданная функция g (t) имеет производную gf (t).
удовлетворяющую условию Гельдера.
" ' сказано, что интегральные уравнения (62) и (66) имеют единствен-и°е
решение.
52
Теория упругости
Основные уравнения н соотношения плоской задачи моментной теории
упругости. В основе классической теории упругости лежит модель среды,
между частицами которой предполагается одно лишь централь нОе
взаимодействие.
Фойгт ввел новую модель среды, между элементами которой предполагалось
кроме обычного центрального еще и вращательное взаимодействие.
Эта модель была положена в основу теории упругости с несимметричным
тензором напряжений, первое изложение которой дано в монографии Коссера.
На каждой грани элементарного параллелепипеда, выделенного из среды
Коссера, действуют кроме обычных напряжений еще и моментные напряжения. В
общем случае на пространственный элемент действуют еще объемные силы и
моменты (пары сил).
В плоском случае уравнения равновесия имеют вид
дах _ дтху до у '
К --j---------------1" Fx - 0,----------------^--------------(- "г Л~
Fу - О,
дх ду Ох ду у
дру
~дх ~ду Мг - ТуХ - ТХу, (Тху ф Тух),
(67)
где ах, тху, Тух, <зу - силовые напряжения; уу - моментные напряжения;
Fx, Fy - компоненты объемных сил; М2 - объемный момент относительно осн.
перпендикулярной плоскости хОу.
Моментная теория упругости развивается в основном в двух направлениях-
вариантах :
в первом варианте малые жесткие вращения среды <о полностью описываются
вектором перемещений и, ибо принимается, что вектор -*¦ I -> со = - rot
и:
во втором варианте наряду с полем перемещений и, вводят кинематически
независимое ноле векторов ?$, характеризующих малые вращения среды.
В первом варианте соотношения между компонентами напряжений для упругой
изотропной среды принимают в виде [111
ох ~ >.0 -f 2р,е.х; ау - ХО 4- 2р.е^; |
= Ъ)кх, I
Здесь X. р. - упругие постоянные Ляме; rj - новая упругая константа
материала (изгибно-крутильный модуль)
dv ди \
B*~dx' iy = ^' УхУ = -е*!>==Ж+Ж: I
(69)
ди dv
~ ~дх 1
ды2 dio2
II х''=аГ
<?<о2 I / dv ди\
Ky~'W'
Дополнительные сведения по плоской чадаче
53
Условия совместности деформаций и кривизн находим из выражений (69),
исключая в последних перемещения и, и и вращение со*. В напряжениях и
моментиых напряжениях эти условия имеют вид
д2оу
'¦V2 (О. + V =-
дхду
fr" + -lyiY.
дх т
v(ot + a,,)]);
dy
(70)
(71"
(72)
Здесь F = - (константа / имеет размерность длины).
Отметим, что только три из условий совместности (70)-(72) являются
независимыми, так как, например, уравнения (70) и (72) содержат ft себе
условие (78).
Если ввести две функции напряжений U и F соотношениями (II j
Ох
дК1
" ду * '
(М>
дхду
дЧ дхду *
&F ду2 '
(T-U
дхду
И*-;
дЧ) дЧ ~ дхду 1 IbX '
ег
(73)
to плоская задача моментной теории упругости (при отсутствии объемных сил
и моментов) сводится к решению уравнений
^ 0; V2 (F - PS7*F) - 0. (74)
дополненных соответствующими граничными условиями. Функции U Н F кроме
уравнений (74) должны удовлетворить еще условиям
-^¦(f-l'VV)- 2(1
X-tF-Ъ7V)-tni-
(75)
