Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты этого уравнения - соответственно линейный, квадратичный и
кубический инварианты тензора деформации; заметим, *Jto
Л (Те) " в.
Тензор деформации удобно представить в виде суммы Г, = -I еТ, -|- Ое,
где De - девиатор деформации, характеризующий изменение формы элемента
тела, a -g- е7\ - шаровой тензор объемного расширения. Компоненты
девиатора деформаций будем обозначать через e.-i очевидно, что
Положительную величину, пропорциональную квадратному корню из
квадратичного инварианта
/~2 Г - *uf + (f|/ - е2)2 + (г* - е.)* -
\l = \ Y V |(r)/2_1_2,2\ И(r))
У + ~2 \У*у + Vsz + Y"),
называют интенсивностью деформаций сдвига.
Иногда рассматривают интенсивность деформаций (или приведенную
деформацию) г* - -pF=Vi-
Компоненты деформации не могут быть вполне произвольными функциями. Для
возможности определения перемещений и, v, w по Деформациям, последние
должны удовлетворять шести условиям сплошности (или неразрывности) Сен-
Венана:
Дгформицин
19
При интегрировании уравнений (17) необходимо вычислить ряд криволинейных
интегралов 12, 3]. Условия сплошности гарантируют независимость этих
интегралов от пути, т. е. однозначность смещений (для односвязной области
- с точностью до жесткого перемещения).
Компоненты деформации в цилиндрической системе координат г, ц>, г имеют
вид ди и 1
_ dv v ^ 1 ди
V'4 ~ дг г + г * дф ;
ди
ди
ди
ди;
dw '
: аГ"
I dw _ г '
v" ~ ~Ь+~дГ-
(21)
здесь и, о. и - составляющие вектора смещения по осям цилиндрической
системы координат.
Компоненты деформации в сферической системе координат г, ф, 0 имеют вид I
ди и .
г ~~ dT; еФ = т +
ь - - +
1
г sin О I
dt2i _ .
d0 " ^ГЧ> г sm 0 * дф дг ~ 1 / dv , п\ I дан - ~ v 6 е)
+ г sin 0
_ da? i2i I ди
Ул ~ Иг - Т + Т 'Ж >
(22)
здесь ы, д в - составляющие вектора смешения по осям сферической системы
координат.
Формулы для компонентов деформации в произвольной криволинейной
ортогональной системе координат и соответствующие условия сплошности см.
в работе [2].
Натуральные деформации. Пусть главные оси деформации Xj (/ = 1, 2, 3) не
вращаются, lj - текущая (мгновенная) длина элемента в на правлении дг,,
dlj - приращение длины. Тогда приращения деформации dt,
df j = -у-. Суммирование приводит к натуральным деформациям Ч
¦i-f
/о
где - начальная длина элемента.
Натуральные деформации обладают групповыми свойствами (сумма Двух
последовательных натуральных деформаций также является натуральной
деформацией) и при больших деформациях, но не образуют тензора, в связи с
чем использование натуральных деформаций в расчетах ограничено
отмеченными выше условиями.
20 Напряжения и деформации ь сплошных средах
СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ
При изучении неупругих деформаций необходимо вводить скорости деформации.
Тензор скорости деформации. Пусть частицы тела движутся со скоростью V,
проекции которой
ол = оА (ж, у, г, t)\ vu - vv (х, у, г, 0; vz - (а, у. г, /).
При этом тело испытывает деформацию, скорость которой характеризуется
компонентами тензора скорости деформации
dv"
dvx *' " дх '
Ч>" - -gf +
Е*=-
ду
и-
dv,,
ч"г ~ ~вГ
дуг _ дг *
ди"
= ¦
дг
dvz
"ar-
ias)
Величины %х, Ъу. Ьг определяют скорости относительных удлинений
элементарного объема в направлениях координатных осей а, у, г: Уху Чуг->
*1x2 определяют угловые скорости скашивания первоначально прямых углов.
Гчавпые значения (главные скорости удлинения) симметричного тензора
скорости деформации
1
1
~2 Ча" Т
1 У Лад Ън 1 Т '1г/г I
1 I 1 ~2 ,^г I "2"%*
определяют так же. как и на стр. 17. Скорость относительного объемного
расширения
5 = 1х + + Ь = <liv V (21)
и является линейным инвариантом тензора 7|.
Аналогично предыдущему вводят девиатор скорости деформации
= 4- 5Т' J Di
который характеризует скорость формоизменения.
Литература
Интенсивность скоростей деформаций сдвига
~2 /а* - иг -г к" - и' (вг--ы2 +
\'т\
Интенсивность скоростей деформаций ct- = ~ rji.
В случае малой деформации справедливы простые соотношения
а
•* " dt '
а
'l'* - ж'
(26)
Компоненты скорости деформации не могут быть вполне произг^ль-ными
функциями (см. стр. 18) и должны удовлетворять шести условиям сплошности,
которые получаются из равенств (20) при замене компонентов деформации
компонентами скорости деформации.
Комнонсн |Ы скорости деформации в цилиндрических и сферических
координатах легко получить, заменив в формулах (21) и (22) составляющие
смещения и, v, isj составляющими скорости vx, Vy, vz
Компоненты тензоров деформации и скорости деформации в нронз вольной
прямоугольной системе координат ху будем обозначать соответственно через
?// и
ЛИТЕРА ТУРА
1. Кац М. Генри" yiipyioCTu .4. Г И ТТЛ, 1936.
2. Л я в А. Математическая теория упругости М- ОНТИ, 1935
3 Падай Л. Пластичность и разрушение твердых тел. М . ИД, 1934. 1
Новожилов В В. Теория jnpyrocrii. Л.. Судпром! из, 1958
5. II р а ге р В. Введение в механику сплошных сред- М., ИЛ. 1963
6 Седов Л. И- Введение a vu-ханику сплошной среды М. Физматгиз.
