Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
трехслойпых оболочек, круглых пластинок, оболочек вращения переменной
толщины. В этом же томе приведены справочные сведения о концентрации
напряжении в пластинках и оболочках, расчете контактных деформаций и
толстостенных цилиндров.
10
Последний - третий - том посвящен вопросам устойчивости и колебаний. В
нем рассмотрены устойчивость и колебания стержней, пластинок и оболочек,
аэроупругость, действие случайных нагрузок и др.
Материал справочника может служить основой для разработки методов расчета
на прочность, устойчивость и колебания деталей и узлов конструкций.
Расчетную схему, условия закрепления и другие конкретные данные выбирают
в процессе расчета с учетом особенностей работы конструкции.
Замечания и пожелания по содержанию справочника просьба направлять по
адресу: Москва, Б-66, 1-й Басманный пер., 3, Изда-тельс чшо "
Машиностроение"
• ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Глава 1
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
НАПРЯЖЕНИЯ
Тензор напряжения. В сечении тела на произвольно ориентированной площадке
с нормалью п действует вектор напряжения Sn (рис. I). Нормальную
составляющую сп вектора напряжения называют нормальным напряжением,
касательную - ти - касательным напряжением на данной площадке.
Рис. 1. Вектор напряжения Рис 2. Компоненты напряжения
на произвольной площадке
11апряжеиие Sn может быть охарактеризовано тремя проекциями Snx, S/iyt
Snz на координатные оси х, у, г и зависит от направления площадки в
данной точке тела. Первый индекс указывает на направление площадки,
второй - на ось проектирования.
На площадках, соответственно перпендикулярных к осям \, у, г, напряжения
имеют компоненты (рис. 2). которые образуют тензор напряжения
о*
V ТУ V
1гх Т гу
12 Напряжения и деформации в сплошных средах
Напряжение на произвольно ориентированной площадке вычи сляется по
компонентам напряжения (формулы Коши):
i>nx = ох cos пх |- тху cos пу -| - ткг cos nr, Sny - lyx COS ПХ + Oy cos
ny + Туг cos nr, Snz - тгх cos пх -+- т2y cos ny -f ог cos m
(I)
Эти формулы вытекают из условий равновесия элементарного тетраэдра (рис.
3): пх, пу, пг - углы между нормалью к косой площадке и соответственно
осями х, у, г.
Если к элементам тела не приложе-ны внешние объемные моменты (например.
магнитные моменты), то тензор на пряжения симметричен, т. е.
*1/2- *гу
В дальнейшем будем рассматривать только этот случай; несимметричную
механику сплошной среды, см., например, в работе 18].
Нормальное напряжение на данной площадке
о" = ох cos2 пх + ov cos2 пу -f-
+ с г cos2 пг-\~ 2тху cos пх cos пу +
Ч- 2Туг cos пу cos пг + 2тлг cos пх cos пг. (2)
При рассмотрении обших вопросов удобно обозначать оси прямоугольных
координат через xi (j - 1, 2, 3). Тогда компоненты напряжения будут
обозначены через оц (i, /= 1, 2, 3). При переходе к другой, прямоугольной
координатной системе xt компоненты напряжения преобразуют по формуле
°1'Г
- 2 2
Л=1 /=1
(3)
где afft - косинус угла между старой осью xt и новой осью xk.
Главные напряжения. В каждой точке тела существуют, по крайней мере, три
взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения
ранны нулю. Эти площадки называют главными, а направления нормалей к этим
площадкам называют главными направлениями (или главными осями) тензора
напряжения. На главных площадках действуют главные нормальные напряжения
о,, о2, о3. Если главные напряжения различны, имеется только три главных
направления. Если два главных напряжения равны (например, о2 = о3).
напряженное состояние характеризуется осеной симметрией; любая площадка,
содержащая ось I - главная. Если все главные напряжения равны
Напряжения
13
(а1 = og - оа), напряженное состояние характеризуется центральной
симметрией, любая площадка н данной точке является главной (случай
гидростатического напряженного состояния).
Главные напряжения являются корнями кубического уравнения
ох - К
т**
ХУ* а г -К
или (в развернутой форме)
-Л3 + h (Т0) W + /2 (Та) X + /8 (Та) = 0. Коэффициенты этого уравнения
/1 (Гс) - -{- о^ о3 = Зо;
7 а (7а) - f- OgtJg o3t7j;
!AT") - 0]02°з
(4)
(5)
(6)
ие зависят от выбора координатной системы и называются соответственно
линейным, квадратичным и кубическим инвариантами тензора напряжения.
Величину о называют средним давлением.
В сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями, действуют
главные касательные напряжения
Ti - -
Максимальным
о2 - о3
"ч
-Я,
°1 - Og
' касательным напряжением называют величину тП1ах - max {| тх |т | т2 |т
I т31).
Если главные оси нумерованы так, что
(7)
"t-uiax 2 •
Не существует площадки, на которой бы действовало касательное напряжение,
превосходящее тшах.
Девиатор напряжения. Так как тела по-разному сопротивляются равномерному
всестороннему давлению и касательным напряжениям, то удобно представить
тензор напряжения в виде суммы Та = cl | -}- Dc,
-шаровой тензор, соответствующий среднему
а 0 0
где о7\ - ! 0 о 0
0 0 о
