Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
напряжения Ф (г, г):
/ дЧ> \
[Р-*>ао_"]
Г., ч д*Ф 1
д
ог - дг
д
- д7
д
С! 2 = дг
д
Г гг = дг
Уравнения сплошности (50) будут удовлетворены, если функция напряжений -
би гармон и ческа я
Компоненты смещении выражают через функцию напряжения по формулам
1 + у ? дг дг
1 + v г,, " . а*(r) I <эф I I
Т L ~дг*~ ~Г ~dF J ' ]
(53)
Здесь нринсдсна формулировка осесимметричной задачи в нанрнже ниях. При
формулировке задачи н смещениях общее решение может быть представлено
через гармонические функции согласно решению Папко вича-Нейбера (15), см.
работы [7, 15].
Уравнения в сферических координатах. Иногда удобно исходить из уравнений
осесимметричной задачи в сферических координатах г, <р, 0; при этом
напряжения, деформации и смещения не зависят от у г.': а ср. ось
симметрии характеризуется значением 0=0. Функция напряжении удовлетворяет
би гармоническому уравнению, причем оператор Лапласа имеет теперь вид
а д2 , 2 д I п д
А = ^г-^^ + Тс(о0,-^-
дг2
д2
' т2 '
Связь с плоской задачей. Решение первой и второй основных задач Для
осесимметричного тела можно привести к задаче определения Двух
аналитических функции для плоской задачи (для области, образованной
диаметральным сечением) при соответствующих граничных условиях [IJ.
Граничные значения этих аналитических функций находят из системы
интегральных уравнений.
Полый шар под действием внутреннего и внешнего давления. Пусть о, Ь
обозначают соответственно внутренний и наружный радиусы
Теория упругости
шара, р, у - внутреннее и наружное равномерное давление. Напряжения будут
Если внешнее давление отсутствует (q = 0), то наибольшее растягивающее
напряжение будет на внутренней поверхности
Местные напряжения вокруг сферической полости в поле растяжения (рис.
II). Пусть в пространстве, испытывающем одноосное растяжение в
направлении оси г, имеется сферическая полость, сво-
никнет концентрация напряжений. Аналогичное состояние будет иметь место в
растягиваемом стержне с малой сферической полостью. Равномерное одноосное
напряжение в достаточном удалении от полости обозначим через р. р
Нормальное напряжение в плоскости г = 0
Наибольшее значение (ог)г=0 имеет на контуре г = а:
Нормальное напряжение оф при г - 0 и г = а также является растягивающим:
На полюсах полости (г= ±а) реализуется сжатие
бодная от нагрузок; тогда вблизи полости воз-
Рис. II. Сфери-
ческая ПОЛОСТЬ в
растягиваемом
(°.г. так)г==о -
(°ф)г=0. г=а - 2 (7 _ 5v) Р'
I
Осесимметричные задачи
45
Сосредоточенная сила в упругом пространстве. Сосредоточенная сила Р,
приложенная в начале координат и направленная по оси г, вызывает в теле
бесконечных размеров следующие напряжения:
а' вл(|ЗТ)1(1 -2v) 1;
8л: (I - v) P
1(1 - 2v) zR-*]:
8д (I - v)
[(I - 2v) zR-* -\- 3z"R~*];
-P 8л (I - v)
((I - ЗгггК~ь[,
где введено обозначение R2 = г2 -j* г8.
В плоскости z - 0 действует только касательное напряжение тгг. Действие
сосредоточенной силы на полупространство (рис. 12). На границе тела г = 0
в начале координат (г - 0) приложена сосредоточенная сила Р. направленная
по оси г. Напряжения определяются формулами
- 3rWJ ;
о< = -
O-Jv, i- ' Я-.+гК-'
IF * ^ ¦
Рис. L2. Действие сосредоточенной силы на полупространство
Напряжение, действующее по любой горизонтальной площадке, направлено по
липии OOlt проходящей через начало координат, и пб величине равно
т -" 3 Р z2
Перемещения, возникающие в полубесконечном теле под действием силы Р:
46
Теория упругости
Для точек граничной плоскости г - 0 имеем
п = _(1-2уД1+у)р
2пЕг л hr
Действие распределенной нагрузки на полупространство. Используя решение
для сосредоточенной силы, можно, на основании принципа сложения действия
сил, получить решение задачи о действии распределенной нагрузки на
полупространство.
Для частного случая равномерной нагрузки р, распределенной по площади
круга радиуса а, имеют место следующие результаты.
Вертикальное смещение в центре круга (г = 0, г = 0) определяется формулой
2(1 - V2) ра
о>0 = ----(Г*1-.
а на окружности (г = 0, г =* с) оно будет 2
Wa -----W0.
SI
Напряжения в точках, лежащих на оси г,
°*=р(-1+-ж):
где Л2 - о2 -Ь г2.
Максимальное касательное напряжение имеет место в точке г =
= о | ^его величину определяют по формуле
W=-f-[-"2- +4 И + v> 1^2(' + v) j.
В случае равномерного давления р, распределенного но прямоугольнику
(стороны а, Ь), среднее вертикальное перемещение (по площади пр ямоу гол
ьни ка)
Р (1 - V")
^ = т-ЦгГ'
где Р - pF - нагрузка; F - площадь, на которую действует давление.
Значения коэффициента т приведены в табл. 2.
Дополнительные сведения по плоской задаче
47
2. Значения коэффициента т
Круг Прямоугольник ври у-
¦ 1.5 2,0 3,0 | 5 10 | 100
0,96 0,96 0,94 0,92 Ц.88 0,82 0.71 0.37
Давление круглого жесткого штампа на полупространство (рис. 13). Давление
не будет постоянным, его определяют по формуле
2яа Vя2 - г2 *
где Р - полная нагрузка; а - радиус штампа.
Вертикальное перемещение под штампом постоянно
