Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 1" -> 14

Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 — М.: Машиностроение, 1968. — 831 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostkolebaniyaustoychivostt11968.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 212 >> Следующая

Р("~У2)
2 аЕ
Пространственные задачи для анизотропных
тел. В трансверсально-изотропном теле вращения при осесимметричных
нагрузках возникает осесимметричное напряженное состояние. Функция
напряжений Ф удовлетворяет дифферент Рис п циалыюму уравнению
/ д2 I д \ ( д2Ф 1 дф а2Ф \ ,
^ or3 г дг )\ дг2 г * дг дг2 )
д2 ( д<2 г
д2Ф с дф д*Ф \
S*- + T-gr + a-a*)-0-
где а, с, d - упругие постоянные.
Это уравнение для изотропного тела переходит в би гармоническое уравнение
(52).
Имеются решения [6] различных задач для анизотропного тела (равновесие
полого цилиндра, полон сферы, полупространства и т. д.).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
Односвязная область. Для одиосвязной области (внутренняя задача) функция
ф (г) определена с точностью до слагаемого Ciz 4- у. функция ф (г) - с
точностью до слагаемого угде С - действительная, а V" V - комплексные
произвольные постоянные.
Произвольным постоянным, входящим в функции <р (г), ф (г), можно
Рвдавать, в зависимости от удобства, те или иные определенные зна-
48
Теория упругости
Считая для определенности, что начало координат находится в области S,
можно выбрать эти постоянные следующим образом {10].
Первая основная задача
<р (0) = 0; Jmy' (0) = 0; ф (0) = 0.
Первое достигают подходящим выбором у, второе - подходящим выбором С,
третье - подходящим выбором 7'.
Вторая основная задача
В этом случае С = 0; ху - у' = 0. Поэтому для удобства можно принять <р
(0) - 0 или ф (0) = 0.
Многосвязная область. Рассмотрим случаи, когда S - многосвязна и конечная
область.
Будем предполагать, что область S ограничена несколькими простыми
замкнутыми контурами L,, Lm, Lm+lt нз которых по-
следний охватывает все предыдущие (пластинка с отверстиями)
Предполагаем также, что эти контуры не имеют общих точек.
В рассматриваемом случае функции ф (г) и ф (г) будут иметь вид
Ф(г) = -
I
ел (1 + х) 2 +,у*'1п (г - " + f"(г);
ф (г) =
2п(1 + к) гд
- г") -I- t Ю.
(5-1)
где ф' (г), ф* (г) - функции однозначные и регулярные в области S; Zk(k=
1, 2, m) - постоянные точки, произвольно выбранные
внутри контуров L,, Ls Z.m; Х$, У* - компоненты главного вектора усилий,
приложенных к контуру L* (к = 1,2, . . т).
Рассмотрим случай, когда S - бесконечная область (бесконечная плоскость с
отверстиями). Этот случай получается из предыдущего, когда контур Lm+J
целиком уходит в бесконечность.
Функции напряжений ф (2), ф (г) в рассматриваемом случае имеют
вид
Х + iY ¦ . Г , , ч
<Р(2)Т= ~ 9-т п 111 г -ЬГг + ф0(г);
Ф (г) =
2л (I + х)
х(Х - iY) " 2я (I + х)
Inz + Гг-f Фо(г).
(55)
где X = 2 хк' У = 2 Г - В 4 iC, 1" = В' +• iC' - постоян-А=1 Л-1
ные; ф0 (г), ф0 \г) - функции, имеющие при достаточно больших | г|
разложение вида ф0 (г) = aQ + - -J- -2|. Н , ф0 (z) = а0 -|------------
ае
Напряженное состояние не изменится, если принять Oq -т. е. фо (оо) ~ ф0
(оо) = 0 и С = 0.
Дополнительные сведения по плоской задаче 49
Действительные постоянные В, В\ С' имеют простой физический смысл н
выражаются соотношениями
Rc Г - В J- (А/, + .Vs);
1" = В- + ,С = - 1 (А/; - А/и)
(56)
где A/i, - значение главных напряжений на бесконечности; а - угол,
который главная ось, соответствующая Л/,, составляет с осью Ох.
Конформное отображение. Преобразование основных формул. Рассмотрим
конечную или бесконечную односвязную область, ограниченную одним простым
контуром L.
Отобразим с помощью функции г - со (?) область S на внутренность
(внешность) единичного круга.
Идея конформного отображения на единичный круг состоит в том. что
фактически решение рассматриваемой двумерной задачи сводите.' к решению
некоторой одномерной задачи, что значительно упрощает исследование [10,
16]
Граничное условие первой основной задачи в этом случае примет [10 J
9 (о) I 4=2=- 9' И - 9 (о) - Л + •/, + const. (57)
о (о)
где о = е'е - произвольная точка на окружности у. Граничное услони-йторой
основной задачи (47] соответственно примет вид [10]
*9 (о) - 22i2j- 9' (с) - 9 (п) = 2ц (ft + Ift) <¦>' (о)
(58)
Компоненты напряжений Хх, Yу, Ху и компоненты смещений и, v будут
выражаться следующими соотношениями [10]:
X, + Yy = 4Re [Ф (О):
Уу-х, + ИХу 2 {-^§-Ф' (?) + V о} ; 2ц (и + (о) = Кф(J) -ф- g) -9К).
(59)
Легко также найти [10] компоненты смещения и ком-
поненты рр, -frfr, рй напряжении относительно криволинейных координат (р,
О), которые определяют из формул 2ц | о' (?) j ("р -f г00) -
¦-f--юЦе)-=(r)-9'(0-ч>(й}
рр-г W) = 4Re (Ф (С));
рр + 2ip0 .=
2?2 Р2 ш' (С)
|и(ЭФ'(?)+ш'(?)Ч,(0).
50
Теория упругости
В формулах (53) и (54)
ф(0 =
У (-) . Ш' (У '
ЧЧУ "' (С"
Приведение основных задач к интегральным уравнениям. Важным методом
исследования плоской задачи теории упругости, особенно для многосвязных
областей, является приведение основных задач к интегральным уравнениям.
Не останавливаясь на различных типах интегральных уравнений [10 J,
приведем лишь интегральные уравнения Шермана-Лауричелла [20, 211, которые
являются наиболее эффективными, поскольку их можно легко решать
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed