Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
*) Некоторые детали преобразований интегралов, различные представления трансцендентных функций В, Т, I и их предельные выражения — см. De Tollis В.—Nuovo Cimento, 1964, v. 32, p. 757; 1965, v. 35, p. 1182; Costan-tini V.j De Tollis B., Pistoni G.— Nuovo Cimento, 1971, v. 2A, p. 733.
(q k^Y — m2.
^ + т = -1-(2+|)в(0-(2+^)В(«)
— 4
+ + --
= l-i-/(s, u)-^I(t, U).
s <0,
(127,19)
/(s, t) =
622 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ _ [Гл. XII
Сечение рассеяния
Предельному случаю малых частот (со <S;m) отвечают малые значения переменных s, t, и. Первые члены разложения инвариантных амплитуд по этим переменным:
ли Нй4 „ ,, Не4 Не4 2
М+ + + + «-pr-^S2, М + __+ Ж т t2, М+_ + _ « -TF—i и2,
+ + + + 4t>m4 ’ + + 45m4 ’ + + 45т4 (127 20)
Af + + __«—jgjl(s2 + ^2 + “2)' ^+ + + _«0.
Подставив эти выражения в формулу (127,3), получим сечения рассеяния поляризованных фотонов. Дифференциальное же сечение рассеяния неполяризованных фотонов вычисляется согласно (127,13) и равно (в обычных единицах)
dCT=4HWa2r|(S')6(3+COS20)rfO'’ (127’21)
а полное сечение*)
973
10125л
а V2
(^)e=o’o3iavK^)e’ и<тс*- (127-22)
В обратном, ультрарелятивистском случае полное сечение рассеяния неполяризованных фотонов?)
<т = V, Йсо^> тс2. (127,23)
<о
Наконец, укажем дифференциальное сечение рассеяния на малые углы в ультрарелятивистском случае:
de = ^\n*±do, ^1<0< 1. (127,24)
Это выражение справедливо с логарифмической точностью — следующий член разложения содержит на единицу меньшую степень большого логарифма. Для перехода к пределу 0 = 0 (рассеяние вперед) формула (127,24) непригодна. Вместо нее имеем здесь
е«С- <127'25>
Это выражение легко получить с помощью общих формул (127,18), положив в них t = 0 и заметив, что при sjj>l наиболее высокую (вторую) степень большого логарифма содержит лишь функция
Т (—^ ж — 1па— « In2 —
1 \m2J ~ 4 Ш /л2 ~ 111 m -
1) При переходе от Ат к а надо ввести множитель 4/2, учитывающи' тождественность двух конечных фотонов.
2) К происхождению этой зависимости о от <а мы еще вернемся в конце § 134.
§ 127]
РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ
623
С этой точностью отличны от нуля лишь амплитуды М + + + + = М_____________________= М + _ + _=— 1беЧпа —.
-Г -Г т
Это значит, в частности, что в этом случае поляризация фотона при рассеянии не меняется.
На рис. 24 изображен график зависимости полного сечения рассеяния от частоты (в логарифмической, по обеим осям, шкале). Сечение убывает как в сторону малых, так и больших частот и достигает максимума при %а>«
& 1,5тс2. Излом кривой при fid) = тс2 отражает изменение характера процесса в связи с появлением возможности образования реальной электронной пары.
Случай малых частот
В случае малых частот (со <^.т) амплитуду рассеяния фотона на фотоне можно получить также и совсем иным способом, исходя из поправочных членов в функции Лагранжа слабого электромагнитного поля (см. ниже, § 129).
Малая поправка к гамильтониану взаимодействия V' отличается лишь знаком от малой поправки к лагранжиану. Согласно
(129,21) имеем
10 W Ъш/то1
V
45-8 я2т4
j {(Ё2 — Н2)2 + 7 (EH)2} d3x. (127,26)
Поскольку этот оператор — четвертого порядка по полю, то он имеет матричные элементы для интересующего нас перехода уже в первом приближении.
Для вычисления надо подставить в (127,26)
Е= — -д—, Н = rot А,
А = У 4п 2 (сю^е~1к>! +Ck?.ejae''ft*)
(127,27)
кЯ
(X — номер поляризации), после чего элемент 5-матрицы вычисляется как
= — ((о IS V' dld^ct.i, | о)
127,28)
624
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
(ср. §§ 72, 77). При нормировке А, как в (127,27), амплитуда рассеяния Mfi непосредственно определяется по Sfi согласно
Sfl = i (2я)4 6<‘> (k, + kt-ki- kt) Mfi (127,29)
(ср. § 64). Среднее значение в (127,28) вычисляется по теореме Вика с помощью (77,3), причем свертывать надо, разумеется, только «внешние» операторы Ск*., ск*, с внутренними А.
§ 128. Когерентное рассеяние фотона в поле ядра
Другими (наряду с рассеянием фотона на фотоне) нелинейными эффектами, описывающимися квадратными диаграммами вида
(127,1), являются распад одного фотона во внешнем поле на два фотона (и обратный процесс «слияния» двух фотонов в один) и рассеяние фотона во внешнем поле. Первому процессу отвечают диаграммы, в которых один из четырех внешних фотонных концов заменен линией внешнего поля. Второму же процессу отвечают диаграммы с двумя внешними линиями реальных и двумя —виртуальных фотонов.
К последней категории относится, в частности, когерентное (упругое) рассеяние фотона в постоянном электрическом поле неподвижного ядра. В общем случае вычисления приводят к очень громоздким формулам (содержащим кратные квадратуры)х). Мы ограничимся здесь лишь некоторыми оценками.
В силу требований калибровочной инвариантности амплитуда рассеяния при со —О должна содержать произведения компонент 4-импульса начального (k) и конечного (k') фотонов (подобно тому как разложение амплитуды рассеяния фотона на фотоне начинается с четверных произведений компонент 4-импульсов всех фотонов). Другими словами, амплитуда рассеяния фотона малой частоты пропорциональна со2. Учитывая также, что эта амплитуда содержит внешнее поле (поле ядра с зарядом Ze) во втором порядке, заключаем, что сечение рассеяния
