Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
do ~ Z4a4r^-^y do (со<^m). (128,1)
Зависимость от частоты находится, разумеется, в соответствии с общими заключениями в § 59.
Коэффициент в (128,1) нельзя вычислить с помощью функции Лагранжа однородного электромагнитного поля (как это можно было сделать для рассеяния света на свете). Причина заключается в том, что в данном процессе существенны расстояния от ядра
х) См. Costantini V., De Tollis В., Pistoni G.— Nuovo Cimento, 1971, v. 2A, p. 733; De Tollis B., Lusignoli М., Pistoni G.— Nuovo Cimento, 1976, v. 32 A, p. 227.
§ 128]
КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ ФОТОНА В ПОЛЕ ЯДРА
625
\/т, на которых поле ядра нельзя рассматривать как однородное.
Приведем результат точного расчета:
do++ —do__ = 1,004 • Ю-3 • (Za)1 ге Г—) cos1 —с/о,
)2L 0 (128,2)
da+_ — da_+ = 3,81 • 10-4 • (Za)4 r] y — J sin4-jdo.
Индексы + и — обозначают здесь (как и в § 127) спиральности + 1 или —1 конечного начального фотонов; 0 — угол рассеяния в системе покоя ядра (V. Costantini, В. de Tollis, G. Pistoni, 1971).
Для оценки сечения при высоких частотах воспользуемся оптической теоремой (§ 71). Промежуточное состояние, фигурирующее в правой стороне соотношения унитарности, является в данном случае состоянием электрон-позитронной пары (ему отвечает рассеяние диаграмм по двум внутренним электронным линиям между фотонными концами). Поэтому оптическая теорема связывает амплитуду упругого рассеяния фотона на нулевой угол с полным сечением образования пары фотоном в поле ядра, стпар. Определив амплитуду /(со, 0) рассеяния на угол 0 так, чтобы сечение рассеяния было a,0 = |/|2do (ср. (71,5)), будем иметь
Im f (со, 0)=-|^стпар.
Сечение стпар отлично от нуля, разумеется, лишь при со > 2т. В ультрарелятивистском случае, взяв о^р из (94,6), получим
Псо)^1т/(со, 0) = ^(ZaYre^[\n^-—Ц] , со>т. (128,3)
Вещественная часть амплитуды рассеяния определяется по мнимой части дисперсионным соотношением. Это соотношение должно быть написано здесь «с одним вычитанием», т. е. его надо писать для функции f/t (где t = со2), поскольку при со —^ 0 амплитуда / <х> со2 (ср. с соотношением «с двумя вычитаниями»
(111,13)). Выделяя вещественную часть дисперсионного интеграла (для чего достаточно понимать интеграл в смысле главного значения) и перейдя от интегрирования по /'= со'2 к интегрированию по со', имеем
/»^Ке«о>, 0) = ^Р j • (128,4)
2 in
При со tn в интеграле существенны значення со'~со^>т, так что для f" (со') можно использовать выражение (128,3); при этом нижний предел интеграла можно заменить нулем. Главное значение интеграла можно представить как полусумму интегралов по путям, проходящим по верхнему и нижнему берегам правой
626
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
вещественной оси в плоскости комплексной переменной со'; в свою очередь, эти пути можно затем повернуть в плоскости со' до совпадения соответственно с верхней и нижней мнимыми полуосями. В результате /' (со) представится в виде
и окончательно
Re/(со, 0)=-L(Zafre^. (128,5)
Обратим внимание на то, что вещественная часть амплитуды, в отличие от мнимой части, не содержит большого логарифма.
Сумма квадратов выражений (128,3) и (128,5) дает сечение рассеяния на нулевой угол:
+ I128'6)
(F. Rohrlich, R. L. Gluckstern, 1952).
Полученный для рассеяния строго вперед результат (128,6) пригоден и в некоторой области малых углов. Можно показать, что условие его применимости 0<<5(m/со)2. Эта область, однако, вносит лишь малый вклад в полное сечение рассеяния. Основной же вклад в полное сечение дает область углов б^т/со;
это легко понять на основании общего (не на нулевой угол)
соотношения унитарности, связывающего друг с другом амплитуды рассеяния фотона и образования пар фотоном. В этой области, однако, логарифмический член отсутствует, так что полное сечение рассеяния
а~ (Zcc)Vf (~)2 02 ~ (ZaY г? (128,7)
(Н. A. Bethe, F. Rohrlich, 1952). Таким образом, при больших со сечение когерентного рассеяния стремится к постоянному пределу.
§ 129. Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного поля
При квантовании электрон-позитронного поля (§ 25) мы видели, что в выражении для энергии вакуума появляется бесконечная постоянная, которую можно записать в виде1)
^=-24’, (129,1)
ро
Г (») = ¦
*) Мы пишем здесь букву $ вместо Е во избежание путаницы с напряженностью электрического поля.
§ 129]
ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
627
где —е^)— отрицательные частоты решений уравнения Дирака. Сама по себе эта постоянная не имеет физического смысла, так как энергия вакуума равна нулю по определению. С другой стороны, при наличии электромагнитного поля уровни энергии е?~> будут меняться. Эти изменения конечны и имеют определенный физический смысл. Они описывают зависимость свойств пространства от поля и меняют уравнения электромагнитного поля в вакууме.
Изменение уравнений поля выражается в изменении его функции Лагранжа. Плотность L функции Лагранжа является релятивистским инвариантом и потому может быть функцией лишь от инвариантов Е2— Н2 и ЕН. Обычное выражение
= 8гтГ(Е2 — Н2) (129,2)
есть первый член разложения общего выражения по степеням инвариантов.
