Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Для определения же уровней энергии достаточно знать лишь положение полюсов функции Г. Вблизи полюсов Г^>Г, так что первым членом правой стороны (125,11) (вторая диаграмма справа в (125,10)) можно пренебречь, и уравнение становится однородным относительно Г. В этом уравнении переменные р+, р_, а также и индексы k, I становятся параметрами, зависимость от которых остается произвольной (не определяется самим уравнением). Опустив эти параметры (а вместе с ними и штрихи у остающихся переменных р'+, pi), получим уравнение
iVitm{p.\ -р+)= $Г,-,1М|(Р-, q-p+—p-\ q, -p + )(Sst(q)X
X»nr(?-P+ -P-) Yt,n{q,q-P+ ~Р-)щг (125,12)
(E. E. Salpeter, H. A. Bethe, 1951).
Записанное в системе центра инерции (р++р_=0), уравнение
(125,12) имеет решения лишь при определенных значениях б++б_, которые и дают уровни энергии позитрония. Функция т играет при этом лишь вспомогательную роль. Вместо нее удобнее ввести другую функцию:
Хя(л- = n(Pi\ Pt)$nr(Pi)- (125,13)
Тогда уравнение (125,12) примет вид
i [V-1 (р_) X (р-, —р+) (— р+)],¦„ =
= §?1г,,т(р->ч—р+ — Р-> я> -р+)г,Ля>я—р+—р-)т!щс>
(125,14)
§ 125]
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
607
в котором Г выступает как ядро интегрального оператора. Как
уже упоминалось, Г может вычисляться по теории возмущений; то же самое относится, конечно, и к функции ?-1.
Покажем, что в первом (по а) приближении теории возмущений (125,14) сводится, как и следовало ожидать, к нерелятивистскому уравнению Шредингера для позитрония.
В первом нерелятивистском приближении Г определяется одной лишь диаграммой (125,2 а) (диаграмма аннигиляционного типа (125,2, б) обращается в этом приближении в нуль)*). Как и по аналогичному поводу в § 83, фотонный пропагатор удобно выбрать в кулоновской калибровке (76,12—13), причем достаточно оставить в нем лишь компоненту D00. Тогда
Гir,sm(p~, q-p+-p-\q, -p+) = ~e‘'-y%yannD0o(q-p_) =
= —U{ ч — р-)у%у°гт,
где
— компонента Фурье потенциальной энергии кулоновского взаимодействия позитрона и электрона. Уравнение (125,14) принимает вид
Чип(Р_-, —Р + )~
G(p.)y^U (q — Р-) X (<7> Ч — Р+~Р-)щ1’ T°G(—р+)
(125,15)
где также заменены тсчньте пропагаторы Ъ пропагаторами свободных электронов G. Для последних имеем приближенные выражения (ср. (125,8))
<3(р_)«Ц^?(р_). G(— p+)=1-zf-g(p+),
где выделены матричные множители, a g (р) — скалярная функция
8(Р)= e-m—f^+io] \ (125,16)
При подстановке этих выражений в (125,15) замечаем, что все отличные от нуля матричные элементы
!-г70 ..о..*,о ‘—7°
х) Напомним, что скорости частиц в позитронии v/c ~ а. В этом смысле разложения по а и по 1/с взаимно связаны.
608 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [Гл. XII
совпадают с элементами —%im. Поэтому матричное уравнение
(125,15) эквивалентно уравнению для скалярной функции
*х (/>-.-/>+)=— g(p-)g(p+)
(125,17)
Введем теперь вместо р + , р_ переменные
Р = (е, Р) = + , Р = р-+Р+
(4-импульсы относительно движения частиц и позитрония как целого). В системе центра инерции
Р = (Е + 2т, 0),
где полная энергия обозначена через Е + 2т, т. е. Е — уровень энергии, отсчитываемый от массы покоя. Выразив через эти переменные, переписываем (125,17) в виде
И{р, Р) = -8 (р+т) В {-Р + т)$ U (Ч-Р-)Х (<7-т ’ Р) Ць = = -g{p + ^-)g{-p + t)^(4'-P)x(<?'> Р)щ,-
Р входит в это уравнение уже только как параметр, а функция х входит в правую сторону равенства только в виде интеграла
Ч>(Я)= S Х(<7.
Проинтегрировав обе стороны равенства по de, получим из него замкнутое уравнение для
оо
= I g(p+-r)g(-p + -r)de ^(ч-рЖя)^.
— «о
где
g(±P+4) = [±e+-T~h+i0\ *•
Замкнув путь интегрирования по de, скажем, в верхней полуплоскости комплексного е, вычисляем интеграл по вычету в соответствующем полюсе и окончательно получаем
(?—?)’НР) + j^/(P-q)1l3(q)(0 = o. (125,18)
Это и есть уравнение Шредингера для позитрония в импульсном представлении (см. III (130,4)).
Если бы мы ограничились для Г диаграммами (125,2), но учли бы в них (а также и в %) следующие члены разложения по 1/с,
§ 126]
ДВОЙНОЕ дисперсионное соотношение
609
мы получили бы уравнение Брейта (§ 83). Учет же диаграмм из
(125,4) (вместе с дальнейшими членами разложения по 1/с) дает радиационные поправки к уровням позитрония; однако вычисления становятся очень сложными.
Приведем вычисленную с этими поправками разность основных уровней орто- и парапозитрониях):
Первый член в фигурных скобках — тонкое расщепление (см. задачу 2, § 84). Второй член — радиационная поправка к разности уровней. Мнимая же часть разности связана с вероятностью аннигиляции парапозитрония (см. (89,4)), т. е. с комплексностью уровня ^S,,; для парапозитрония ширина уровня оказывается того же порядка величины, что и радиационная поправка к его вещественной части.
§ 126. Двойное дисперсионное соотношение
Следующий по сложности за вершинной частью с тремя внешними линиями является блок с четырьмя концами. В квантовой электродинамике возможны три такие простейшие диаграммы:
Первая из них описывает рассеяние фотона на фотоне. Остальные представляют собой отдельные члены радиационных поправок —к рассеянию фотона на электроне (диаграмма б) и к рассеянию электрона на электроне (диаграмма в).
