Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
L' = ^-lnb <129-23) (более точное вычисление заменяет In b на In b — 2,29). В этом случае
L' а 1 и
634
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Отсюда видно, что радиационные поправки к уравнениям поля могли бы достигнуть относительного порядка единицы лишь в экспоненциально больших полях:
Тем не менее вычисленные поправки имеют смысл: они нарушают линейность уравнений Максвелла и тем самым приводят к наблюдаемым, в принципе, эффектам (например, к рассеянию света на свете или во внешнем поле).
Связь напряженностей Е и Н с потенциалами А и ф остается, по определению, прежней —(129,6). Поэтому не меняется также и первая пара уравнений Максвелла:
Вторая же пара уравнений получается путем варьирования действия
По форме уравнения (129,25—27) совпадают с макроскопическими уравнениями Максвелла для поля в материальной среде1). Отсюда видно, что величины Р и М имеют смысл векторов электрической и магнитной поляризации вакуума.
Отметим, что Р и М обращаются в нуль для поля плоской волны, в котором, как известно, оба инварианта Е2 —Н2 и ЕН равны нулю. Другими словами, для плоской волны нелинейные поправки в вакууме отсутствуют.
Остановимся, наконец, на условиях применимости полученных формул. Для того чтобы поля можно было считать постоянными, их относительные изменения на -расстояниях или промежутках времени ~ 1/т должны быть малы; этим обеспечивается малость связанных с производными поправок к L0 по сравнению с самим L0. Так, если поле зависит только от времени, это приводит
Н ^ ~еяя^.
I el
(129,24)
div Н = 0, rot Е = — •
’ dt
(129,25)
S = \{L0 + L')d4
по А и ф. Они могут быть записаны в виде
rot (Н — 4яМ) = ~ (Е 4лР), div (Е-[- 4яР) = 0, где введены обозначения:
(129.26)
(129.27)
(129,28)
х) При сравнении надо помнить, что в макроскопической электродинамике среднее значение магнитного поля обозначается через В, а не Н, как здесь.
§ 129] ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
635
к естественному условию
(129,29)
Для случая слабого поля, однако, имеется и более жесткое условие. Оно возникает из требования, чтобы член четвертого порядка (129,21) был велик по сравнению с квадратичной по производным поправке к L,; в противном случае этот член потерял бы смысл. Так, для электрического поля, зависящего только от времени, это приводит к условию
о(129,30)
более жесткому, чем (129,29).
Условие (129,30) не возникает, однако, при решении задачи о рассеянии фотона на фотоне, рассмотренной в последнем разделе § 128. Там мы с самого начала интересуемся только четырехфотонным процессом, описываемым членами четвертого порядка в функции Лагранжа, и вопрос об относительной величине других членов в L' не имеет отношения к делу. Поэтому достаточно было потребовать выполнения лишь условия (129,29).
Задачи
1. Определить поправку к полю малого неподвижного заряда gf, связанную с нелинейностью уравнений Максвелла.
Решение. При Н = 0 имеем из (129,21):
Р = ^ = _^1_Е?2 m
дЕ 90 я2т4 '
В центрально-симметричном случае из (129,27) имеем
(Е -)-4лР) г2 = const = I?i (2)
(постоянная определена из условия, что при г —> оо поле совпадает с куло-
новым полем заряда е^). Приближенно решая (2), получаем
Е= е1 (, 2a2ei
2 \ 45лт4/-4
или
ф—1l( 1-------2a2gl 'j (3s
г V 225nmiri J ‘ w
Нелинейную по поправку в (3) следует отличать от линейной поправки в (114,6), связанной в конечном счете с неоднородностью кулонового поля. Поправка (3) более высокого порядка по а, но медленнее убывает с расстоянием и быстрее растет с ростом
2. Непосредственно оценить вероятность рождения пары в слабом однородном постоянном электрическом поле в квазиклассическом приближении с экспоненциальной точностью (F. Sauier, 1931).
Решение. Движение в слабом поле Е (медленно меняющийся потенциал ф = — Er=—Ez) квазиклассично. Поскольку в амплитуду реакции волновая функция конечного позитрона входит в виде начальной «отрицательно-частотной» функции, то рождение пары можно рассматривать как переход электрона
636
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
из «отрицательно-частотного» в «положительно-частотное» состояние. В первом из них при наличии поля квазиклассический импульс определяется равенством
е = — V р* (z) + m2+|e|?z, (1)
а во втором
е=+ ур* (z) + m* + \e\Ez. (2)
Переход из первого состояния во второе есть переход через по^нциальный барьер (область мнимого р(г)), разделяющий области зависимостей (1) и (2) с вещественными р (г) при заданном е. Границы этого барьера zj и za лежат при р (z) = 0, т. е.
г = — m-\-\e\Ezi, e = +m + | е\ Ez2.
Вероятность перехода через квазиклассический барьер
1
о
откуда
цус/зехр^— 2 J | р (z) | dzj = exp^— 4-— J У 1— dl j,
( nm2 \
V \ё\Ё)
toco exp [ — в согласии с (129,22).
§ 130. Расщепление фотона в магнитном поле
Нелинейные поправки в уравнениях электромагнитного поля приводят к ряду специфических эффектов при распространении фотонов во внешних полях.
С целью придания этим уравнениям более обычного вида (ср. примечание на стр. 634), будем обозначать в этом параграфе напряженности электрического и магнитного полей как Е и В; буквами же D и Н обозначим величины
