Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Этот параграф посвящен изучению некоторых общих свойств диаграмм такого рода. Но для упрощения и конкретности мы будем вести изложение применительно к определенной диаграмме—
E(3S1)-E(1S0) = a1-^
(126,1)
(126,1,а).
>) Karplus R., Klein A.— Phys. Rev., 1952, v. 87, p. 848.
610
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Импульсы линий такой диаграммы обозначим следующим образом:
л~к*
1'Ь (126,2)
/ Гк,-кя\ к3 К
4-импульсы klt k2, k3, k4 отвечают реальным фотонам, так что их квадраты равны нулю.
Отделив зависимость от поляризаций фотонов, амплитуду Mfi, соответствующую диаграмме (126,2), можно выразить через несколько скалярных функций 4-импульсов фотонов. Это —инвариантные амплитуды, о которых шла речь в § 70; конкретное выделение их для рассеяния фотона на фотоне будет произведено в следующем параграфе. Будучи скалярными, они зависят лишь от скалярных же переменных, в качестве которых можно выбрать, например, любые две из величин
s = (/?! +/У2, t = (k1 — ka)2, « = (&! — k^f, s + / + « = 0; (126,3)
ниже мы выбираем в качестве независимых s и /,
Каждая из инвариантных амплитуд (которые мы обозначим здесь той же буквой М) может быть представлена интегралом вида
М =[___________________________iBdiq_______________________(126 41
т2 —*¦ т? — Ю,
где В — некоторая функция всех 4-импульсов; множители в знаменателе происходят от пропагаторов четырех виртуальных электронов.
При достаточно малых s и t амплитуды М вещественны (точнее, могут быть сделаны таковыми надлежащим выбором фазового множителя). Действительно, малость s обеспечивает невозможность рождения фотонами реальных частиц (электрон-позитронной пары) в s-канале, а малость t — такую же невозможность в ^-канале1).
х) Изображенные на диаграмме (126,2) направления внешних линий отвечают s-каналу. В ^-канале входящими должны быть линии 1 и 3, так что 4-импульсами начальных фотонов были бы и —k3. Физические области для рассеяния фотона на фотоне в переменных s, t, и—заштрихованные секторы на рис. 8. Так, s-каналу отвечает область, в которой s > 0, t < 0, и < 0.
§ 126]
ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
611
Другими словами, в обоих каналах отсутствуют реальные промежуточные состояния, которые могли бы, согласно условию унитарности, привести к появлению мнимой части амплитуды.
Будем теперь увеличивать s при фиксированном (малом) значении t. При у амплитуды М появится мнимая часть,
связанная с возможностью рождения пары двумя фотонами в s-канале. Поэтому для М можно написать дисперсионное соотношение «по переменной s»:
М
М)=4 <126’5>
где Als (s, t) обозначает мнимую часть М (s, t). Как и для всякой диаграммы вида
.<4u(s, t) вычисляется по правилу (115,9) заменой в интеграле
(126,4) соответствующих полюсных множителей 8-функциями:
2«л„(5. о -(2-т J d% (,2ад
причем интегрирование производится по половине ^-пространства, в которой q° > 0.
Мы можем сделать существенный дальнейший шаг, заметив, что интеграл (126,6) имеет структуру (в смысле своих полюсных множителей) того же типа, что и амплитуда реакции, изображающейся диаграммой вида
Поэтому и аналитические свойства (s, t) как функции от t подобны аналитическим свойствам этой амплитуды. В частности, у функции Al5(s, t) может появиться (при увеличении t) мнимая часть только тогда, когда оба множителя в знаменателе будут одновременно обращаться в нуль. Это, однако, не произойдет сразу же после достижения значения t = 4m2— порога рождения пары в ^-канале. Дело в том, что наличие S-функций в подынтегральном выражении ограничивает область интегрирования в
612
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
^-пространстве, которая может оказаться несовместимой со значением t = 4m2. Протяженность области интегрирования зависит от значения s (аргументы б-функций содержат k1 и k„). Поэтому зависит от s и граничное значение t — ic (s), за которым функция i4l5(s, t) становится комплексной.
Подобно тому как функция М (s, t) выражается через свою мнимую часть i4u(s, t) формулой (126,5), так и функция Als (s, t) в свою очередь выражается через А2 (s, t) = Im Als (s, t) дисперсионным соотношением «по переменной t»:
оо
(>26.7)
tc (S)
Подставив теперь (126,7) в (126,5), получим двойное дисперсионное соотношение, или представление Мандельстама для амплитуды М (s, t):
оо во
" <*¦'>-И $ «-'-щЛ'-,I126’8)
4тг tc (S)
(5. Mandelstam, 1958).
Функцию А2 (s, t) называют двойной спектральной плотностью функции М (s, t). Ее можно получить из интеграла (126,6) повторным применением к нему правила замены (115,9). Обозначив для краткости
1\ Ц, 1'2==Я ^4» ^3 ™ Я ^2» ^4 Я ^1 (1^6,9)
получим (2ifA2(s, /) =
= (2л04 J iBb (/J —m*)6(/i-m*)6(/S-m*)6(/; —m2)d«<7, (126,10)
причем интегрирование производится по области q° > 0.
Следует, однако, иметь в виду, что формула (126,10) имеет лишь символический смысл. Дело в том, что область s > 0, ^>0— нефизическая. Соответственно в этой области величины 11У 12... при вещественных q оказываются, вообще говоря, комплексными; понятие же б-функции при комплексных значениях аргумента не является полностью определенным. Точнее было бы говорить прямо о взятии вычетов в соответствующих полюсах исходного интеграла (126,4). В нашем случае это, однако, не играет роли. Условие обращения в нуль четырех знаменателей в (126,4) или четырех аргументов б-функций полностью определяет компоненты 4-вектора q. Переходя к интегрированию по 1\, 1\, . . . (см. ниже) и формально оперируя с интегралом (126,10) по обычным правилам, мы найдем (с точностью до знака) выражение для А2.
