Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 218

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 212 213 214 215 216 217 < 218 > 219 220 221 222 223 224 .. 247 >> Следующая

Мы найдем функцию Лагранжа в случае, когда поля Е и Н настолько медленно меняются в пространстве и времени, что их можно считать однородными и постоянными; тогда L не содержит производных от полей. На формулировке необходимых для этого условий мы остановимся в конце параграфа.
Однако для того чтобы поставленная задача имела смысл, необходимо еще предполагать электрическое поле достаточно слабым. Дело в том, чго однородное электрическое поле может рождать из вакуума пары. Рассмотрение поля самого по себе как замкнутой системы допустимо, лишь если вероятность образования пар достаточно мала. Именно, должно быть
(12ад
(изменение энергии заряда е на расстоянии fi/mc должно быть мало по сравнению с тс2). Мы увидим ниже (см. также задачу 2), что в таком случае вероятность образования пар экспоненциально мала.
Если наряду с электрическим полем имеется также и магнитное, то, вообще говоря, можно выбрать систему отсчета, в которой Е и Н параллельны. Тогда магнитное поле не влияет на движение заряда в направлении Е. Именно в этой системе (выбор которой и будет подразумеваться в дальнейших вычислениях) и должно выполняться условие (129,3).
Вычисление функции Лагранжа начнем с определения изменения W' энергии вакуума. Величина W дается изменением за счет поля «нулевой энергии» (129,1). Из этой величины, однако, надо еще вычесть средние значения потенциальной энергии электронов в «состояниях» с отрицательной энергией. Последнее
628
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
вычитание означает просто, что полный заряд вакуума по определению равен нулю.
Нулевая энергия при наличии поля:
А ¦= ¦- S ‘W = Е j Ifi -От 4fc> d-x. (129,4)
ра ра
где —отрицательно-частотные решения уравнения Дирака в данном поле. Будем предполагать, что интегрирование ведется по единичному объему, а волновые функции нормированы на 1 в этом объеме; тогда <§0 есть энергия единицы объема. Согласно сказанному выше из <В0 надо вычесть величину
ра
где ф = —Ег —потенциал однородного поля. Но согласно теореме о дифференцировании оператора по параметру (см. III (11,16))
и. - Е Е f чу • 4г IV «Р* — Е Е
ра __________? о
д?о
дЕ дЕ •
ра “ ра
Таким образом, окончательно полное изменение плотности энергии вакуума
*" = (Л-Е^)-(А-Е^)С,Н.,,. (129,5)
Свяжем W' с изменением плотности лагранжиана Z/(L = L0 +
+ L’). Для этого воспользуемся общей формулой
: dL_ дд
где ^ — «обобщенные координаты» поля (см. II, § 32). Для электромагнитного поля роль величин q играют потенциалы А и <р. Поскольку
Е = — А —Уф, Н = rot А, (129,6)
то из числа «скоростей» q в L входит лишь А, а дифференцирование по А эквивалентно дифференцированию по Е. Поэтому
1Г = Е ^-Ь’. (129,7)
Сравнив (129,5) и (129,7), находим
L’= — [?о-?о|е=н=о]. (129,8)
Таким образом, вычисление L' сводится к вычислению суммы
(129,1).
§ 129] ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 629
Рассмотрим сначала случай, когда имеется лишь магнитное поле. «Отрицательные» уровни энергии электрона (заряд е~ — |е|) в постоянном однородном поле HZ = H
п = 0, 1, 2, .. .; ст = ± 1
(см. задачу к § 32). Для вычисления суммы учтем, что число состояний в интервале dpz есть
(см. III, § 112); первый множитель есть число состояний с различными значениями рх, от которых энергия не зависит. Кроме того, все уровни, за исключением лишь уровня с п = 0, ст = —1, двукратно вырождены: совпадают уровни с я, ст = +1 и /2 + 1, о = — 1. Поэтому
Расходимость интегралов в (129,10) устраняется при вычислении V (129,8) вычитанием значения суммы при Н = 0. Для проведения этой «перенормировки» удобно вычислить сначала сходящееся выражение
Суммирование в фигурных скобках можно свести к суммированию геометрической прогрессии следующим способом:
— 4 ) = — V т* + \е\Н (2л— 1 + a) + pf , (129,9)
2л 2л
°° ( 00
— <?„ = -^Jjr j \ Vm2 + pl + 2 ? Vm*-'r2\e\Hn + pl [ dpz.
— оо l,. П= I J
(129,10)
Щг ] |W + pl)-‘/‘ + 2'?{m' + 2\e\Hn + p])-'¦/,) dpz =
o L n~ о
о
CO
CO
j* e~m2Ti cth (| e [ Нц) dr\. (129,11)
630 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [Гл. XII
Для нахождения L' надо теперь дважды проинтегрировать Ф по т2, после чего вычесть значение получающейся величины при Н = 0. Находим
1 г р->п°-л
L'=— — {i] [ е] // cth (it |е| //) — 1} c?it + ^ + c2m2, (129,12)
0
где с1 и с2 зависят от Я, но не зависят от т2.
Из соображений размерности и четности по Н очевидно, что L' как функция от Я и т должна иметь вид
Поэтому членов, нечетных по т2, в IJ вообще не может быть, так что с2 = 0. Коэффициент же с, определяется из условия, чтобы разложение L' по степеням Я2 начиналось с члена ~Н1. Действительно, член ~ Я2 в L' означал бы просто изменение коэффициента в исходном лагранжиане 1.а = — Я2/8п. Но это было бы, по существу, изменением определения напряженности поля, а тем самым и заряда. Поэтому устранение членов ~ Я2 означает перенормировку заряда. Легко проверить, что для этого надо положить
00
И2е2 С е-п , о
Наконец, произведя еще в (129,12) замену переменной m2r] —> г|, получим окончательно
L' (Я; Е = 0) = J | — т)Ь cth Ьг) + 1 e~v -ф~ > (129,13)
Предыдущая << 1 .. 212 213 214 215 216 217 < 218 > 219 220 221 222 223 224 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed