Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
закона движения и уравнения связей.
б) Примеры
1-й тип задач (3.1)
3.1.1. Наклонная плоскость А с углом а к горизонту движется
горизонтально по закону х=а(2 (а - постоянная), поднимая при этом
стержень В (рис. 33).
Рис 33
Определить закон движения стержня, его скорость v-y и ускорение w-y.
Решение. Движение точки С можно рассматривать как сложное движение,
состоящее из двух - переносного (движения плоскости) и относительного
(скольжения по этой плоскости).
Уравнение связей для смещений:
у = xtga = at2 tga.
Этот закон движения для скорости и ускорения дает
у= l/2a/tga, у-- l/2atga.
93
3.1.2. Круглый диск с радиусом R (рис. 34), укрепленный на тонком
стержне, совершает крутильные колебания так, что его угол поворота,
отсчитываемый от положения равновесия, определяется уравнением
где сю - амплитуда смещения, р - частота.
Определить величину угловой скорости (о и углового ускорения е диска, а
также значение радиального wn и касательного wt ускорений точки на
внешней окружности диска.
3.1.3. В начало винтового желоба, имеющегося на круглом цилиндре,
положен тяжелый шарик (рис. 35).
С каким угловым ускорением следует вращать цилиндр вокруг вертикальной
оси, чтобы шарик свободно падал по вертикали внутри желоба? Угол
образуемый осью желоба с вертикалью, -• а, расстояние между осью цилиндра
и осью желоба - R.
Решение. Пусть шарик при повороте цилиндра на угол <р опустился за время
t на h=gt2j2.
В этом случае
а = а0 cos pt,
Решение, ш = а = - а0р sin pt, е = а = - аврг cos pt, wn = (о*R = аy?R
sin2 pt, wt = eR = - RaBp2 cos pt.
У/////////////,
Рис. 34
Рис. 35
94
Выражение ф =gtg а-Сбудет законом движения цилинд-2R
ра. Для искомой величины углового ускорения получим
е = ф = -i-gtga.
А
3.1.4. На обод колеса с горизонтальной осью намотана нить, на
свободном конце которой подвешен груз Р. Груз-начинает опускаться без
начальной скорости, приводя колесо во вращение.
Определить угловое ускорение колеса е и полное ускорение точки на ободе
колеса w в функции высоты х, на которую опустился груз. Радиус колеса R,
ускорение груза а-х, нить нерастяжима.
Решение. Уравнение связи (кинематической) при не-растяжимости нити
а - eR.
Ускорение (полное) на ободе^будет суммой ускорений: тангенциального
(ускорение груза) а и нормального so2//?, где v=x - скорость опускания
груза (скорость точки на ободе). Так как о2=2ah, то
w = 'х/'сА ь = Л|/R* (-4/i2; е = -.
V R2 Rv R
3.1.5. Ползун А (рис. 36) движется поступательно по стержню КВ под
действием нити, продетой через колечко С и наматывающейся на вал М,
который вращается с постоянной скоростью со.
Определить скорость v ползуна по расстоянию АВ=х, если BC = h, радиус
колеса R, нить нерастяжима.
Решение. При нерастя-жимости нити уравнением кинематической связи будет
u=(nR, где и - скорость наматывания нити на вал.
Если I - длина нити АС в начальный момент времени (*=0), то через время t
она будет
I - ut - I - a>Rt.
Рис. 36
9 5-
Для любого момента времени имеем
x? f h* = (l - (oRt)*.
Дифференцируя по времени, получим искомую скорость v = х = -- J/лг2 -f
ft2.
X
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. По прямой АОВ катится без скольжения диск С (рис. 37).
Скорость его равна v0. Определить направление скорости произвольной точки
М диска и ее величину v как функцию угла <р.
Решение. Точка О язляется мгновенным центром вращения диска. Для точки Р
это дает величину скорости 2v0. Из геометрических соображений ясно, что
направление вектора скорости для точки М должно проходить через точку Р.
Проекция скорости 2v" на направление вектора скорости точки М дает
искомую величину
v - 2v0 cos ф.
Рис. 38
3.2.2. Прямой твердый стержень АВ движется в неподвижной плоскости.
Даны: скорости концов стержня V\ и v2, углы сц и аг этих скоростей со
стержнем, его длина I.
Определить точку М на стержне, скорость v которой направлена вдоль самого
стержня. Определить величину этой скорости, расстояние мгновенного центра
вращения от стержня, мгновенную угловую скорость.
Решение. Точка Р пересечения перпендикуляров к концам векторов скоростей
"i и фиксирует положение мгно-
96
венной оси вращения стержня. Перпендикуляр из этой точки на стержень
определяет искомую точку М.
Для твердого тела должно быть t^cosc^ = о2со8а2 = о. Легко видеть, что
tg а1 + tg а2
Для величины мгновенной угловой скорости, пользуясь последним уравнением,
получим
ш = -2- = _L( tgtt! + tga2).
3.2.3. Стержень АВ во все время движения касается полуокружности
радиуса R (рис. 39). Конец стержня А остается на горизонтальной прямой,
проходящей через центр О полуокружности.
Определить угловую скорость со стержня относительно точки А, если она
имеет линейную скорость v. Расстояние ОА в любой момент времени считать
известным и равным г. Решение. Для любого момента времени имеем
R = x(t) sin ф (t).
Дифференцируя по времени, получим
О = X sin ф + ЛГф COS ф.
Учитывая, что x=v для искомой величины скорости, получим
v sin ф v R
со = ф -----------X- =----------у
