Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
цилиндра.
Решение. Цилиндр совершает плоское движение. Он движется вниз и вращается
вокруг своей оси. Момент количества движения цилиндра относительно любой
неподвижной точки в этом случае должен состоять из двух членов, один из
которых учитывает поступательное, а другой - вращательное движение.
Для момента количества движения Л7 цилиндра имеем
N = rmu sin а + /ш,
где г - радиус-вектор точки центра масс цилиндра, v - скорость его
движения; т, J, со - соответственно масса, момент инерции относительно
точки центра масс и угловая скорость цилиндра, а - угол между векторами г
и о.
Решим задачу для двух случаев выбора точки начала координат. В первом
случае выберем (рис. 50) точку О (место крепления нитей). Во втором
случае воспользуемся точкой О', находящейся на одной вертикали с центром
масс цилиндра.
1) Для момента количества движения цилиндра относительно точки О имеем
N - rsia a mv + Ja = Rmv + /ш,
где R - радиус цилиндра.
Производная по времени от момента количества движения должна быть равна
сумме моментов всех внешних сил. Это дает
Rtna f Je = mgR,
где а - искомое ускорение, е - угловое ускорение цилиндра.
Для уравнения связи между а и е при нерастяжимости нитей имеем
а - eR.
105
Из этих уравнений следует а ¦
mR2
¦g-
Учитывая, что J=l/2mR2, получим: а - 2/3 g.
2) Для момента количества движения цилиндра относительно точки О'
первый член выражения для этой величины равен нулю, так как угол а=0.
Уравнения движения в этом случае будут:
та - mg - Т, Je - RT, а - е/?,
где g - ускорение силы тяжести. Эти уравнения, как и прежде, дают
а - 2/3 g.
Отметим, что в первом случае применяют одно динамическое и одно
кинематическое уравнения, во втором - два динамических и одно
кинематическое. Второе уравнение (уравнение моментов) является
справедливым не только относительно неподвижной точки (точки начала
координат О), но и относительно точки, движущейся с ускорением (точки С
центра масс тела (цилиндра))- Тождественность уравнений моментов можно
рассматривать как обоснование того, что в плоском движении тела уравнение
моментов может применяться относительно центра масс в том же виде, как и
относительно начала координат. Обычно уравнение моментов полагают
написанным именно относительно точки центра масс тела.
3.1.6. К ведущему колесу автомашины приложен вращающий момент М, оно
дви-гается по горизонтали. Коэф-фициент трения покоя колес о поверхность
k. Радиус колеса R, радиус инерции р, масса т, вес Р (рис. 51).
Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы
колесо катилось без скольжения? Трение качения не учитывать.
Решение. Уравнения движения будут:
тх = kP\ mp2e - М - kPR; к = eR,
Рис. 51
где х - ускорение движения центра масс, е рение колеса.
угловое уско-
106
Для величины вращающего момента эта система уравнений дает
М = k ¦- (R2 f р2).
С увеличением М растет k и достигает своей максимальной величины ко. В
этом случае имеем
М = А04-(К2 f р2).
К
Это максимальное значение момента, при котором еще нет скольжения колес.
р
При M>kо - (К2+р2) скольжение колеса неизбежно.
R
3.1.7. Однородному диску, поставленному ребром на горизонтальную
шероховатую н, плоскость (рис. 52), сообщено поступательное движение со
скоростью Vo параллельно плоскости.
Определить скорость движения центра диска в тот момент, когда начнется
качение без скольжения. Коэффициенты трения покоя и скольжения считать
равными, трение качения не учитывать.
Решение. Наличие силы трения скольжения F (рис. 53) приведет к уменьшению
скорости и0 и появлению вращения диска (угловой скорости ш).
Уравнения движения будут-.
Рис. 52
т-
dv
dt
-kmg, ~mR2-
d(0
dt
¦¦ kmgR,
где m - масса диска, g - ускорение силы тяжести, R - радиус диска, k -
коэффициент трения, v - скорость центра масс диска, и - угловая скорость.
Эти уравнения дают
2kgt
V = ~kgt+V", СО:
R
В момент начала движения без скольжения должно быть v=<aR. Пользуясь
этим, нз выражений для о и со получим время *о, через которое начнется
движение без скольжения:
Уд
3kg
107
Для скорости t)(o с начала движения без скольжения получим
vt. = v0-kgtg = v0 - hg = ~уо-
3.1.8. Однородный цилиндр с радиусом R скатывается без "скольжения с
наклонной плоскости с углом а к горизонту. Известен коэффициент трения
качения k (рис. 53).
Определить ускорение а=х движения центра масс цилиндра. При каком
значении k центр цилиндра будет двигаться равномерно, а цилиндр
равномерно вращаться?
Решение. Уравнения движения для цилиндра будут:
та = тх - mg sin а - F; Рис. 53 ..
Je=FR-kmg cos а; х- eR,
где т - масса цилиндра, / - его момент инерции, е - его угловое
ускорение, g - ускорение силы тяжести, F - сила трения покоя.
Эти уравнения дают
_ mR(R sin о - k cos а)
а~х 7+(tm)^ '
При J=0,5mR2 получим
a = -|-^sina - ^ cosajg.
При равномерном движении центра масс цилиндра его ускорение должно быть
равно нулю- Это дает
k = R tga.
3.1.9. Два катка, скрепленных стержнем, скатываются без скольжения с
