Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
i = J/si
(3)
(4)
Рис 21
3-й тип задач (3.3)
3.3.1. Задача Гюйгенса. Три совершенно упругих шара с массами mlt т2 и т3
находятся на одной прямой в покое. Потом шар mi ударяет шар т2 с
известной скоростью щ.
Какова должна быть масса т2 второго шара, чтобы после его удара о шар т3
скорость последнего была наибольшей?
Решение. Обозначим скорости шаров после удара ии и2 и и3. Рассмотрим удар
шаров первого и второго:
mtv ?
ШХЩ
f
m2u|
2 2 ' 2 mxvx = mxux i- m?u2.
Поделив (1) на (2), получим
vx f ux = иг.
Умножив (З).на и сложив с (2), найдем и2:
2тх
"2 = 0Х.
тх + т2
Рассмотрев также удар второго и третьего шаров, найдем:
(1)
(2)
(3)
и" =
2т3 Ш2+ т3
72
Подставив значение и2, получим
4 mjVx
-j- /Tig -j- tTl-2 -j- TTlj/Tlg/ /Tig
Наибольшее us будет при наименьшем знаменателе:
откуда
т2 = V ЩуПЦ.
3.3.2. Шар массы т, имея скорость v0, ударяет шар массы М н
останавливается.
Найти скорость шара М после удара. Коэффициент восстановления ft=l; удар
центральный, прямой.
Решение. Пусть шар М имел до удара скорость Vi, после удара - скорость
v2. Направление t"i по отношению к v0 неизвестно, но vi=?0. Воспользуемся
законами сохранения механической энергии и количества движения:
Члены с М и m сгруппируем по разные стороны знака равенства и, поделив
одно на другое, получим
Из (3) и (2) найдем
Знак Vi определяется значением Мит, величина v2 от направления Vi не
зависит.
3.4.1. Стержень длины а массы т0 может свободно вращаться в
горизонтальной плоскости относительно вертикальной оси, проходящей через
его конец. Во второй конец (в край) нормально к стержню ударяет шар массы
т, летящий в горизонтальной плоскости со скоростью V.
Найти скорость шара щ н угловую скорость стержня после абсолютно упругого
удара.
Решение. В горизонтальной плоскости система замкнута. Воспользуемся
законами сохранения механической энергии и момента импульса:
f Mvf = Mi|, mvo 4- Mvx = Mv2.
(1)
(2)
= vi-
4-й тип задач (3.4)
73
mv2 = JaP -f mv\,
(1)
amv = /со - amvlt (2)
где J=moa2/3, vt- скорость шара после удара.
Из (1) н (2) получим
v Ь vy = оса. (3)
Из (3) и (2) найдем
2 mv т - т0/3
(О =-----------, = --------V.
aim-untold) т + то/3
Направление Vi шара зависит от величины масс т и mfe.
3.4.2. Стержень массы т и длины I падает из горизонтального
положения, вращаясь около оси О. Проходя положение равновесия, он концом
абсолютно упруго ударяет математический маятник такой же массы т н длины
I.
На какую высоту h поднимется маятник?
Решение. Найдем угловую скорость стержня ш в момент удара:
I тР iо2 ...
mgT0)
Пусть скорость стержня после удара со2, а маятника ом, тогда
тР со2 тРш21 тр ш|
"+ /Г-'
3 2 2 3
тр ,о тР
со = ml a>i----------------------- со2. (3)
Вся кинетическая энергия маятника перейдет в потенциальную:
три>\
2
= mgh. (4)
Из этих уравнений Л=3/8 А
3.4.3. Однородный диск массы М и радиуса Я лежит на гладкой
горизонтальной поверхности. По ободу диска наносят удар, направленный
вдоль лннин, лежащей в плоскости диска на расстоянии а от центра.
Определить скорость в момент окончания удара. Импульс удара равен s.
Решение. Изменение количества движения диска за время удара равно
внешнему импульсу:
Mv, - Mvi = s, (1)
где v2 - скорость центра диска после удара, до удара щ=0.
Т4
Изменение момента импульса диска равно моменту ударного импульса
относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости
диска:
где со2- угловая скорость после удара, coi=0. Таким образом,
3.5.1. Два одинаковых абсолютно упругих гладких шара двигаются
поступательно. В момент удара скорость центра тяжести шара 1 направлена
вдоль линии центров направо, а скорость о2 центра тяжести шара 2
перпендикулярна к линии центров.
Определить Hi и н2 скорости центров тяжести шаров в конце абсолютно
упругого удара и угол р наклона к линии центров.
Решение. Разложив скорости по направлению линии центров (х-компонента) и
перпендикулярному ей ((/-компонента), воспользуемся законами сохранения:
По условию m1=m2, viy=0, 0^=0, vix=vu viy=vz. Прн центральном ударе
одинаковых шаров они обмениваются скоростями, направленными вдоль линии
центров; перпендикулярные к ней составляющие не меняются (нет трения), т.
е.
Таким образом, шар 1 останавливается, а шар 2 получает скорости:
Над = 04 И Ulx = ?>!, U2 = 1/of f Ц|, tg Р = Над/Над = vjvt.
3.5.2. Найти количество движения р, которое получает неподвижная
стенка при упругом ударе об нее тела массы т,
v2 = s/M, (о2 = 2 safMR2.
5-й тип задач (3.5)
mxvlt f m2v2y = щщу 4- m2v2y, mxvXx 4- m2v2x = mxulx -г m2u2x,
(1)
(2)
(3)
(r)1у Uly 0, v2y -¦ Над v2, Ujjc Над 0.
75
скорость которого v составляет угол а с нормалью N к стенке (рис. 22).
Решение. Так как тангенциальная составляющая скорости не меняет своего
значения (трення нет), то
p = m(o1-5!) = mA!), р = - mo cos а - rrvv cos а,
р = - 2mv cos а.
6-й тип задач (3.6) р
3.6.1. Первый шар ударяет второй так, что второй шар после удара
