Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 29
где S - сечение стержня, р - ние элемента от оси вращения.
его плотность, г
расстоя-
86
Момент этой силы относительно точки О будет dM = S р dl a11 sin а / cos
а,
где I - расстояние элемента массы от оси вращения. Сумма моментов этих
сил будет
В рассматриваемой системе координат стержень покоится - момент силы
инерции должен быть равен моменту силы тяжести (l/2Lmg sin а). Равенство
моментов сил дает
Это уравнение для искомой величины угла дает два ре-
Решение sin а=0 не отвечает реальным условиям задачи (неустойчивое
движение).
В инерциальной системе координат вращение стержня можно рассматривать как
движение конического физического маятника. Его движение в этом случае
может быть сведено к движению также конического, но математического
маятника. Периоды движения математического маятника и стержня должны быть
равны
где I' - длина математического маятника, J=\j3mL2 - момент инерции
стержня относительно точки О.
Для величины V (расстояние точки приложения суммарной центростремительной
силы, действующей на стержень, от точки О) получим
С L2
М - S ро>2 sin a cos а I Pdl 5= af-m sin а cos а.
о
шения
cos а = 3gr/2L("2, sin а = 0.
V = 2/31.
Для радиуса вращения этой точки имеем R - 2/3 L sin а. Уравнением
движения стержня будет
т<и2 2/3 ZTSIn а = mg tg а.
или, как и ранее,
1 2 г\
3.2.3. Вращение Земли вокруг своей оси вызывает отклонение
поверхности воды в реке от ее горизонтального положения.
Определить, у какого берега и на какую величину h уровень воды будет
выше. Река течет в северном полушарии с севера на юг. Ширина реки I,
скорость течения о, широта
местности q;, угловая скорость вращения Земли со. Центробежной силой
инерции пренебречь.
Решение. 1. В неинерциальной системе координат, связанной с ' Землей,
кроме силы тяжести mg необходимо учесть силу инерции Корио-лнса:
Рис. 30 FK = 2т [осо] = 2mm sin ср.
Уравнение движения для частицы воды будет та = mg - 2" sin <р,
где т - масса частицы, а - ускорение частицы, g - ускорение силы тяжести.
Результирующая этих двух сил будет (рис. 30) нормальна к линии уровня
воды. Из рисунка видно, что
h Fk 2mm sin ф
I mg mg
Вода будет выше у правого берега реки на величину, определяемую из
последнего уравнения.
Имеем
h = - 2ml sin <р.
е
2. В инерциальной системе координат движение частиц воды следует
рассматривать как сложное, состоящее одновременно из относительного и
переносного движений. Первым является движение по меридиану со скоростью
о. Переносное движение обусловлено вращением Земли с угловой скоростью
о). Разность уровней воды объясняется воздействием правого берега реки.
Для уравнения движения в этом случае имеем
т (аотн + ак) = mg,
где а0ти - ускорение относительного движения, ак=2[("о] - ускорение
Кориолиса.
88
3.2.4. На Земле, вращающейся вокруг своей оси с угловой скоростью ш
по экватору с востока на запад, с относительной скоростью v движется
поезд массы т (рис. 31).
Не учитывая сил трения, считая поезд за единое твердое тело, определить
силу, действующую на поезд со стороны рельсов (реакцию связи) N.
Решение. 1. В неинерци-альной системе координат кроме обычных сил
взаимодействия, а именно силы тяжести поезда mg и реакции связи N,
необходимо учитывать центробежную силу инерции F=m(r)2R и силу инерции
Кориолиса' FK=2m[oco]. Для уравнения движения имеем
т
mg - N - m(s>2R f 2mva>,
где R - радиус Земли.
Для искомой величины получим
о"
N = mg Ь2тиа - т<о2/? - т-.
R
2. В инерциальной системе координат движение следует рассматривать как
сложное движение с относительной скоростью v и переносной со. Полное
ускорение в этом случае будет
а = •
+- со2/? - 2т.
Для уравнения движения в этом случае имеем о2
та = т - f rm2R - 2mm = mg - N.
R
Из этого уравнения для величины N, как и прежде, получим
Ф
N - mg + 2тт - т - mmR.
R
4. Контрольные вопросы
4.1. В чем состоит принцип относительности Галилея?
4.2. Применим ли этот принцип к неинерциальным системам координат?
89
4.3. Какие новые силы применяются в этих системах координат? Могут ли
быть указаны конкретно тела, вызывающие появление этих сил?
4.4. Какой силой инерции объясняется вращение плоскости колебаний
маятника Фуко?
4.5. Может ли быть, чтобы центробежная сила инерции совпадала с
направлением силы тяжести, была противоположна ей?
4.6. Возможен ли случай, чтобы сила инерции Кориолиса совпадала с
направлением силы тяжести, была ей противоположна?
4.7. Почему в неинерциальных системах координат, движущихся прямолинейно,
силы инерции тел приложены (см. решения задач) к точке центра масс этих
тел?
4.8. Почему в задаче 3.1.1 в уравнении для движения точки центра масс
сумма всех сил равна нулю?
4.9. Одинаково ли направление векторов сил инерции и соответствующих им
ускорений при сложном движении материальной точки в инерциальной системе
координат? Могут ли быть указаны конкретно тела, которыми обусловлено
появление этих ускорений?
4.10. Чем объясняется то, что в неинерциальной системе координат решение
