Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
2 V\-V2/c2
В системе ракеты. Координата ракеты все время х'=0 и, следовательно, для
момента возвращения в исходную точку имеем
(4)
а /1 - "2/с2 '
Таким образом, время от улета ракеты до ее возвращения в лабораторной
системе по часам, помещенным в начале координат, равно
х = Tj 1 т2 = 2хи
а по часам, связанным с ракетой,
х' - Х{ { T2=2xlV^-rfJci,
причем этот результат получается одинаковым как при расчете в
лабораторной системе координат, так и при расчете в системах координат,
связанных с ракетой. В последнем случае мы вынуждены- пользоваться двумя
инерциальными системами координат. Именно благодаря неинерциальному
характеру движения ракеты с возвращением нельзя в рассуждениях просто
поменять местами часы, находящиеся в начале лабораторной инерциальиой
системы, и часы, связанные с ракетой.
3.1.8. Два электрона летят навстречу друг другу со скоростями v = */5
с. Какова скорость электрона в системе координат, связанной с другим
электроном?
Решение. Используем формулу сложения скоростей. Если мы будем переходить
в систему координат, связанную с электроном, движущимся в положительном
направлении
14
оси х, то формула сложения скоростей выглядит следующим образом:
и' - u~v - ~2v
1 - Uil/c2 1 + и2/с2 '
где учтено, что и= -v, а величина и' являе'тся искомой скоростью. Чтобы
оценить этот результат, полезно вычислить, как'изменяется множитель у =
1/1/" 1-п2/с2, который характеризует величину сокращения масштабов,
замедления вре-мени, а также и энергию частиц. Обозначив Y' = 1/К 1-
и'2/с2, находим
У' = 2Y2 \f \------- Ь -.
1 1 у v2 4V2
Следовательно, при больших скоростях, когда у^1> можно считать, что
Y' ^ 2у2,
т. е. при переходе из центра масс движущихся навстречу друг другу частиц
в систему координат, связанную с одной из частиц, энергия другой частицы
становится весьма большой. В обычных ускорителях одна из частиц является
покоящейся частицей-мишенью, на которую налетает другая частица,
разогнанная до большой скорости (до больших энергий). Если покоящуюся
частицу-мишень разогнать навстречу падающей на нее частице до такой же
скорости, то столкновение между ними будет эквивалентно столкновению
между неподвижной частицей и частицей, разогнанной до энергий, во много
раз больших, чем энергия каждой частицы при встречном столкновении. Это
обстоятельство используется в ускорителях на встречных пучках. Если взять
два встречных пучка протонов, каждый из которых обладает энергией около
30 ГэВ, то это эквивалентно тому, что на неподвижный протон налетает
другой протон с энергией около 1000 ГэВ.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. В лабораторной системе координат два события произошли в
точках Xi=0 и х2=Ь в моменты времени /] =0 и /г=4/з • 10-8 с. Найти
систему координат, в которой пространственное н временное расстояния
между событиями минимальны. Чему они равны?
Решение. Используем инвариантность интервала. Имеем,
s2 = (Дх)2 - с2Д / = х| - сН\ = 9 > 0,
15
т. е. интервал пространственно-подобный. Поэтому существует система
координат, в которой событии одновременны (At'=0), а пространственное
расстояние между ними равно I- I 9=3 м. Это и есть минимальное
расстояние, как это видно из определения интервала. Считая, что в момент
первого события начала систем координат совпадают, имеем для второго
события
Г = п = Ь - v/°*
2 /1 - В а/с2 '
т. е.
у _ tic _ 4 с х2 5
Можно использовать и другую формулу преобразований Лоренца:
5 - у-10-8 - vt2 " 3
" - -, или 3 =
2 У 1 - а2 /с2 у 1 - а2/са '
3.2.2. В лабораторной системе координат два события произошли в
точках xi=0, tt=0 и х2=4 м, /2= 5/3 -10-8 с. Найти систему координат, в
которой пространственное и временное расстояния минимальны. Чему они
равны?
Решение. Имеем
s2 = x2 - сЧ\ = - 9<0,
т. е. интервал времени-подобный. Следовательно, существует система
координат, в которой эти события происходят~в одной точке с минимальным
интервалом между ними; этот интервал равен t2 = К9/с = 10_8с.
Для нахождения системы координат имеем
х' = О
х2 - vt2
т. е.
Иначе так:
2 1/1-и2/с2
w _ х2 _ _4_
с ct2 5
h - *2 о/с2 у 1 _ "а/с2
Ответ, конечно, тот же. 46
4. Контрольные вопросы
4.1. В каком случае можно сказать, что два события заведомо ие связаны
причинно?
4.2. Если два события не связаны причинно, то в какой системе координат
наиболее очевидно отсутствие причинной связи между ними?
4.3. Если два события связаны причинно, то в какой системе координат
наиболее очевидна возможность существования причинной связи между ними?
4.4. Пусть в лабораторной системе координат вдоль оси х движутся два тела
с разными скоростями. Скоростью сближения или удаления в лабораторной
системе координат можно назвать скорость изменения расстояния между
телами, т. е. отношение изменения расстояния между телами, измеренного в
лабораторной системе координат, к интервалу лабораторного времени, за
которое это изменение произошло. В аналогичном смысле можно говорить о
скорости приближения (или удаления) луча света к телу, движущемуся в
