Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
сумму двух движений: враще-
ния по окружности радиуса R в горизонтальной плоскости и падения по
вертикали. Соответственно скорость бусинки можно представить как
геометрическую сумму = cos а, направленной горизонтально, и v2 = v sin а,
направленной вертикально (а- угол, образованный винтовой линией с
горизонталью).
Нормальное ускорение при движении по окружности равно
2
vx и2 cos2 а
Рис 2
Нормальное ускорение при движении по вертикали равно а2а = 0. Полное
ускорение бусинки
а = а\п !- al%,
где ац и агх - тангенциальные ускорения, соответствующие движению по
окружности и по вертикали. Полное тангенциальное ускорение бусинки ат
равно
= Vaix f <•
Из простых геометрических соображений
h
ах = g sin а = g ¦
1/ft2 + 4я2Я2
26
Для определения а1п находим v из закона сохранения энергии
Следовательно,
v = Y 8 n2hgR
ft2 + 4я2Я2 Итак, полное ускорение бусинки
ghVh? + 4я2Я2 + 64п*Я2 "
а --------------л ~ 13 м/с2.
/г2 + 4я2#2
3.5.3. Шар радиуса г насажен на горизонтальную ось и катится по
плоской поверхности со скоростью v, описывая окружность радиуса R.
Определить полную угловую ско-рость шара и ее направление.
Решение. Шар вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью сдь
равной ал = vjr. В то же время шар совершает вращение вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью юг, равной 0)2- vjR.
Величина полной угловой скорости шара есть
ш
Тангенс угла наклона а полной угловой скорости шара к горизонту равен:
tg а = ooj/o)! = rjR,
6 тип задач (3.6)
3.6.1. С площадки, расположенной на достаточно большой высоте над
поверхностью Земли, бросают два камня с одинаковыми по величине
скоростями Оо=10 м/с. Первый камень бросают вертикально вверх, а второй -
с запаздыванием на время Д1=1 с относительно первого - вертикально вниз.
Определить расстояние между камнями через время t=5 с от момента бросания
первого камня.
Решение. В качестве системы отсчета возьмем ось х, направленную
вертикально вверх. За начало отсчета координат примем точку, из которой
бросают камни,- а за начало отсчета времени - момент бросания первого
камня.
Закон движения первого и второго камней можно записать следующим образом:
xl=vBt-gtt/2,
*2 = - va{t - At)- g(t - М)г 12.
27
Расстояние между телами равно:
S = xt - х2 = (2о0 - g At) t - v0At - g А I2/2 = 45 м.
4. Контрольные вопросы
4.1. Зависит ли форма траектории от выбора системы отсчета? Свой ответ
проиллюстрируйте примерами.
4.2. Проекции радиуса-вектора и вектора перемещения на координатные оси
(координаты) являются векторами. Что дает возможность оперировать с
координатами как с алгебраическими величинами?
4.3. Может ли вектор перемещения совпадать по величине с координатой
точки?
4.4. При каком движении средняя и мгновенная скорости точки одинаковы?
4.5. Приведите пример движения, при котором постоянны величины скорости и
ускорения точки.
5. Задачи для самостоятельного решения
5.1. Определить траекторию точки, совершающей одновременно два
гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если
колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным направлениям:
x=as'm(kt + a), y = b sin(?l + p).
Ответ: эллипс
2ху -cos (а- Р) = sin2 (а - Р).
\
s
S
аЬ
5.2. Фонарь опускается по вертикали с высоты Н= 10 м (рис. 3) ^ с
постоянной скоростью v - 2 м/с.
\ На расстоянии 1=3 м от вертикали
\ расположен столб высотой А= 1,5 м.
4 Определить, с какой скоростью vA
будет двигаться конец тени А, падающей от столба на землю, через 5 с
после начала движения фонаря.
-*-*- Ответ: vA = lhv/ (Н-vt-Л)2=
* * =4 м/с.
рис з 5.3. Колесо катится по прямоли-
нейному пути с постоянной скоростью v без проскальзывания. Радиус колеса
It Найти закон движения, а также зависимость от времени компонент
скорости и ускорения той точки на ободе колеса, которая в начальный
момент времени касалась земли.
28
Ответ:
(l-Mn-if),
v"--0 COS - t
у p
R
5.4. Горизонтальный диск равномерно вращается с угловой скоростью ш. На
расстоянии R от центра диска поставлена вертикальная палочка. Найти закон
движения тени палочки на экране, если весь прибор освещается
горизонтальным пучком параллельных лучей. Определить также скорость v и
ускорение а тени в зависимости от времени.
Ответ: x=R cos((c)i! + <p), v= - Ru> sin(<oH-q>), a-
=-COs(o>^-t-(p).
5.5. Ползун движется по прямолинейной направляющей с ускорением да= -
it2sinn?/2. Найти закон движения ползуна, если его начальная скорость и0-
2л, а начальное положение совпадает со средним положением ползуна,
принятым за начало координат.
Ответ: х-4sinjti/2.
5.6. Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от
берега. У берегов скорость течения равна нулю, а на середине реки
достигает значения и=1,5 м/с. Ширина реки (рис. 4) / -48 м. Человек на
лодке заметил с
берега плот, плывущий по середине реки, и начал грести с постоянной
относительной скоростью и=1 м/с, перпендикулярной направлению течения. В
некоторой точке В лодка и плот встретились.
