Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
dx v2t
dt V /2 -г2/2
: 8,1 см/с.
3.1.2. Камень бросили с высокого отвесного берега, сообщив ему
скорость п0=20 м/с в горизонтальном направлении.
Найти скорость камня в тот момент, когда он достигнет воды (высота берега
й= 11,25 м).
Решение. Ось Ох прямоугольной системы координат направим так же, как о0,
ось Оу-вертикально вверх. Начало координат О расположим на уровне воды
так, чтобы в начальный момент времени камень^находился на оси Оу.
Закон движения камня: x=vat\ y=h-gt2l2. Путем дифференцирования координат
х и у по времени / находим компоненты скорости:
dx dy
Величина скорости может быть найдена из выражения
V = V V2 'г = Vrf f g*?.
Направление скорости относительно горизонтали определяется как
tga = vu/vx = -gtlv0.
В момент времени, когда камень достигнет поверхности воды, y=h-gt2/2=0,
отсюда t= V 2h/g.
Следовательно, на поверхности воды камень будет иметь следующие величину
и направление скорости:
v = У v2 |- 2gh = 25 м/с, tea --- V2gh ^-----.
в" 2
3.1.3. По заданному закону движения точки найти ее скорость (r-at\ ф-
bt).
Решение. Если движение точки задано уравнениями в полярных координатах,
то величина и направление ее скорости определяются из выражений:
г dr
где dr/dt - проекция скорости на направление радиуса-вектора (радиальная
скорость), гdrp/dt - проекция скорости на направление, перпендикулярное к
радиусу-вектору (транс-версальная скорость).
Из условий нашей задачи находим:
v = VarTaW =aV 1 Ь ЬЧ1,
IHCr)=rdiOB-U.
ar
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Линейка АВ скользит концами Л и В по двум направляющим прямым
Ох и Оу, скрепленным под прямым углом, причем точка В движется с
постоянной скоростью С вдоль Оу. Найти ускорение точки М линейки, если
МА-а, МВ = Ь. Конец линейки В начинает движение из точки О.
Решение. Закон движения конца В: yB=ct. Закон движения конца А:
ха = V(cl f bf -сЧ\
23
Закон движения точки М легко найти из простых геометрических соображений:
хм ¦¦
6 -V\a Ybf - cH2, уи =-^-ct.
a + b a + b
Дифференцированием координат точки М по времени находим компоненты ее
скорости:
я _ _ _Ь_____________А______
*м~ а + Ь /(о + bf - сЧ* '
vfu--*¦
ш а + Ь
Дифференцированием компонент скорости точки М по времени находим
компоненты ее ускорения:
=--------ЬсЦа+Ь) , = Q
м [(о + 6)2 - Л2]3/2 им
3-й тип задач (3.3)
3.3.1. Точка начинает движение из начала координат так, что
компоненты ее скорости в полярных координатах изменяются со временем по
закону:
ьг = = aekt, v, = г -^- = Ьг,
dt 1 dt
a, b, k - постоянные величины.-
Определить закон движения и траекторию точки. Решение. В результате
интегрирования компонент скорости по времени находим:
aektdt ^ ci>
ф = ^bdt = bt с2,
где Ci и а - постоянные интегрирования; их величины мы найдем из условия
г-0, ф=0 при t=0 (точка начинает движение из начала координат).
Итак, закон движения точки
<р = Ы.
к
_ ф
Траектория точки г = - (е ь - 1) - логарифмическая
k
спираль.
24
4-й тип задач (3.4)
3.4.1. Точка начинает двигаться в плоскости (лг, у) из начала
прямоугольной системы координат с горизонтальной осью Ох и вертикальной
Оу с начальной скоростью о0, направленной под углом а к горизонту.
Компоненты ускорения точки изменяются со временем по закону
-?*=()¦ =
dP ' dP ё'
где g=const.
Определить закон движения точки и ее траекторию. Решение. Координаты
точки как функции времени находим в результате двукратного интегрирования
по времени компонент ускорения.
Первое интегрирование с учетом начальных условий
о, = = vB COS а; V.. - - va sin а при t = 0^
* dt 0 * dt 0 j
дает
= v0 cos a; - v0 sin a - gt. dt 0 dt
В результате следующего интегрирования при использовании начальных
условий (х=0, у = 0 при 1=0) получаем закон движения точки
х - i>0 cos at, у - vо sin at - gfj2.
Траекторию движения точки определим, исключив из закона движения время t:
у = х tga х\
5-й тип задач (3.5)
3.5.1. Найти закон движения и траекторию свободно падающего тела
относительно вертикальной пластинки, совершающей горизонтальное
равномерное движение со скоростью и. В начальный момент свободно падающее
тело находилось в начале координат, не обладая скоростью.
Решение. Оси Ох и Оу координатной системы нанесем на пластинке, ось Ох
направим горизонтально в сторону движения пластинки, ось Оу направим
вертикально вверх.
Относительно пластинки тело участвует в двух движениях, в горизонтальном
и вертикальном направлении. На основании принципа независимого сложения
движений можно
25
считать, что каждое из этих движений происходит по своему закону. Закон
движения тела:
х = -ut; у = -gt2/2.
Траектория тела относительно пластинки - парабола:
S
У = -
2 и2
х'.
3.5.2. На проволоку, изогнутую в виде винтовой линии с вертикальной
осью с шагом винта Л=2 см и радиусом
R = 2> см надета бусинка (рис. 2). Бусинка начинает скользить по
проволоке без начальной скорости. Трение отсутствует.
Определить ускорение бусинки в конце первого витка.
Решение. Движение бусинки в каждый момент времени можно рассматривать как
