Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования.
7
б) Примеры
1-й тип задач (3.1)
3.1.1. В движущейся со скоростью v системе координат под углом а' к
оси х' лежит стержень длиной I. Какова длйна стержня в неподвижной
системе координат и угол а между стержнем и осью х?
Решение. В движущейся системе координат имеем
/*- = х' - х[ = (cos а'; = у' - у[ = I sin а'.
В неподвижной системе по преобразованиям Лоренца
Г2 = (х'_ х,')2 ь (р'- ytf = 1г cos2 а' ^ 1 - ^ j f /2 sin2 а' =
т. е. стержень представляется направленным вдоль оси у, его проекция на
ось х в силу сокращения почти исчезает.
3.1.2. В движущейся со скоростью v системе координат материальная
точка перемещается под углом а' к оси х' со скоростью и'. Найти скорость
и этой точки и угол а, образуемый ее траекторией с осью х неподвижной
системы координат. Решить эту задачу также для случая распространения
светового луча, когда и'=с.
Решение. Имеем в движущейся системе
хз - х\
¦; Уо - У[ = Уг - Уг-
Следовательно, имеем в неподвижной системе
tga = =
I sin a'
Окончательно
При v"с находим
V =а (sin a' = [у-, tga->oo; а ж п/2,
и'х = и' cosa'; иу ~ и' sin a'.
8
По формулам сложения скоростей
их + v и' cos а 4- v
11 = ¦ = •
u~Vul ьи?;
tg а = иу/их.
Для светового сигнала справедливы те же формулы, надо лишь подставить и'-
с. Формулы сильно упрощаются, если в движущейся системе координат точка
движется вдоль оси у'
При больших относительных скоростях систем координат v"с заключаем, что
как материальная точка, так и луч света движутся почти в направлении оси
х. Следует обратить внимание на то, что при определении движения по
формулам сложения скоростей классической теории луч света в последнем
случае двигался бы примерно под углом а=45° к оси х.
3.1.3. Собственное время жизии р,-мезона равно тоц = = 2,2- 10~в с.
Мезон рождается на высоте Н= 35 км иад Землей и движется по вертикали к
Земле со скоростью, отличающейся от скорости света на 2-10~Л т. е. i"/c"
1-2-10-4. Каким представляется в системе координат, связанной с мезоном,
расстояние до Земли в момент его рождения? Какое расстояние способен
пролететь мезои за время его жизни а системе координат, связанной с
Землей, и успеет ли он долететь до поверхности Земли?
(а'=п/2):
" = |/"* t "*= У* f- a'2 (l-^-) = У а'2 но"
Для светового луча и!-с получаем
9
Решение. Примем во внимание, что в данном случае
YX~^ = VО bf)(1-f) ^2'Ю-2 = 0,02 = 1/60.
Следовательно,
1) в системе координат, связанной с мезоном, расстояние до Земли равно:
/ = тй v - тй с - 3-108-1,1 • 10-4 = 3,3-104 м = 33 км.
Мезон не достигнет поверхности земли и распадется на высоте 2 км над
Землей.
3.1.4. По оси х на расстоянии I друг от друга расположены два лазера,
которые одновременно дают вспышки света в направлении, перпендикулярном
оси у. В направлении оси х со скоростью v движется т?ло, длина которого
равна L>1. При соответствующей скорости, когда длина движущегося тела
будет меньше расстояния между лазерами, вспышки лазера минуют движущееся
тело спереди и сзади него и дадут два пятна на фотопластинке,
расположенной зг движущимся телом. Очевидно, что это может произойти при
смотрите весь этот процесс в системе координат, связанной с движущимся
телом, в которой расстояние между лазерами значительно меньше длины тела
L.
Решение. Если в неподвижной системе тело движется в положительном
направлении оси х со скоростью v, т. е. слева направо, то в системе
координат, связанной с телом, лазеры движутся справа налево со скоростью
v. Расстояние между движущимися лазерами в этой системе координат равно I
V1 -Ц2/с2. Вспышки лазеров, одновременные в неподвижной системе
координат, неодновременны в движущейся системе, связанной с телом длины
L. Непосредственно из преобразований Лоренца видно, что в последней
системе координат вспышка правого лазера происходит раньше
вспышки левого лазера на At' = (/п/са) j 1 -За это время лазеры пройдут
расстояние At'v и, следовательно,
Яй = Я у' 1 - = 35/50 км = 700 м;
2) тй - т0й
= 2,2-10-6-50= 1,1-10-4 с;
скоростях линейки v, при которых
10
вспышка левого лазера произойдет после вспышки правого лазера на
расстоянии
Y
hi
{о*
l
У 1 - "*/с*
где учтено, что расстояние между движущимися лазерами равно I V1 - иг/с2.
При рассматриваемых скоростях
I
УI - ча/са
>L\
tg'RvW
i-----------------^
Рис 1
это означает, что вспышка левого лазера произойдет тогда, когда он минует
левый конец неподвижного тела L. Таким образом, при объяснении
рассмотренного процесса в движущейся системе координат! очень важное
значение имее?^ относительность одновремен ности.
3.1.5. Рассмотреть опыт Майкельсона-Морли в систе мах координат, в
одной из ко^ торых интерферометр Майкельсона покоится, а в другой -
движется. Считать длины плеч одинаковыми и равными 10 (рис. 1).
Решение, а) В системе, связанной с интерферометром, время возвращения
луча по обеим путям равно
Ат =2l0/c. (1)
б) В системе координат, в которой интерферометр движется вдоль одного из
