Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
3.5.2. МЕТОД ИВОНА
Когда для двух интервалов изменений ц используются различные разложения в ряды по полиномам Лежандра, то этот метод известен как двойное Рлгприближение или метод Ивона [21]. В этом приближении можно строго удовлетворить граничным условиям свободной поверхности, а также учесть разрывы на поверхностях. В результате этот метод оказывается значительно точнее, чем рассмотренные выше, для плоской геометрии (см. разд. 5.2.7).
Чтобы вывести уравнения двойного Рлгприближения, рассмотрим стационарное односкоростное уравнение переноса без источников в плоской геометрии, т. е. уравнение (3.4) с Q = 0:
OO ]
+ о (*)ф (jCi ^ = V w р‘ (I*) ^ ф <*• р‘ м dV'- (3-72>
& 2 -S
В двойном Рл/-приближении предполагается, что
ф(*. ц)= 2 (2я+ \)[фп WPn (2|х— 1) + фп{х)Рп (2ц.+ 1)], (3.73)
п = 0
где введены следующие определения:
Pn (2ц—1), ц> 0;
РІ (2ц— 1) =| Qn Pn (2(1+I)=.
M-< 0;
Рп(2|*+1), M-< 0;
О, ц^О.
Отметим, что в пределах полуинтервала изменения ц аргумент (2ц ^ 1) соответствующей функции Pn меняется от —1 до +1.
Уравнение (3.73) можно теперь подставить в уравнение (3.72) и умножить результат на Р^(2ц — 1) или P^ (2ц + 1). После интегрирования по ц от —1 до 1 получим уравнения, которым удовлетворяют ф т (х). Левую часть уравнений можно преобразовывать по существу таким же образом, как и при разложении по полиномам Лежандра на всем интервале, и она оказывается не более сложной. Однако правая часть содержит члены, включающие произведение полиномов по полному и половинному интервалам.
* Хотя поток нейтронов не претерпевает разрыва при ц = 0, его производная по ц будет разрывной и поток может резко меняться как функция ц вблизи ц = 0. Кроме того, такие разрывы в угловых производных присутствуют и в точках вне поверхности раздела и для направлений, имеющих ц > 0 [20].
125
Если постоянные ptn и Pim определяются как
— 1
1
Plm = J Pt (jp) Pm (2p+l) dp,
— 1
то уравнение (3.72) принимает вид
_™ M + >» + , d*±+,(.) +2а(х) ф±(х)^
2т + I dx 2т +1 dx dx
оо Ы
= S (2/ + I) pfm O1 (х) S (2л + I) [ptn фп(х) + рік ф п (*)]• (3.74)
I = О п = 0
В частном случае изотропного рассеяния сумма по I имеет только один член для
I = 0. Из этого следует, что величина ро„ равна дельта-функции Кронекера п (см. разд. 2.4.2), и правая часть уравнения (3.74) становится равной просто
ао(*Н0о W+ Фо(х)Ь
В более общем случае, если разложение сечения ограничивается числом членов
I = L, то сумма по п содержит только члены с п L. Очевидно (см. разд. 3.3.4), что члены анизотропного рассеяния оказываются более сложными, чем в Pn- приближении [22].
В двойном Рдгприближенин граничные условия свободной поверхности могут быть удовлетворены точно. Если задача рассматривается в области О х ^ а, то условия свободной поверхности принимают простой вид
фп (O) = O и ф~ (а) = 0.
Для односкоростной задачи в предположении, что Oi = О для I > 2, уравнения двойного /^-приближения могут быть получены в таком же виде, как и малогрупповые диффузионные уравнения (см. разд. 4.3.2), и решены таким же способом [23]. Другой метод решения очень похожих уравнений приводится в разд. 5.2.4. В некоторых примерах, приведенных в гл. 5, показано, что для плоской геометрии двойное Рх-приближение дает очень хорошие результаты, по крайней мере не худшие, чем Р3-приближение, и значительно лучшие, чем простое Рі-приближение. Установлено, что двойное Рлгприближение оказывается очень полезным при изучении решеток, которые часто рассматриваются в плоской геометрии. Двойное Рл/-приближение используется также и в сферической геометрии [24], однако здесь оно не имеет особых преимуществ (см. разд. 5.3.2).
3.6. РАСЧЕТЫ ЯЧЕЕК РЕАКТОРА
3.6.1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВИГНЕРА — ЗЕЙЦА
Во многих реакторах топливные элементы располагаются в периодической решетке таким образом, что систему, по крайней мере в центральной части активной зоны, можно рассматривать как состоящую из некоторого числа одинаковых элементарных ячеек (рис. 3.7). При этих условиях пространственное распределение потока нейтронов в реакторе имеет периодическую тонкую структуру, которую можно найти, рассчитывая поток внутри элементарной ячейки. Такие расчеты ячейки часто проводятся с помощью метода сферических гармоник, особенно когда топливный элемент имеет простую гео-
126
метрию, например цилиндрическую, как на рис. 3.7. Однако, когда топливный элемент имеет более сложную форму, для расчетов нужно пользоваться методом Монте-Карло.
Даже когда топливные элементы имеют цилиндрическую геометрию, возникают проблемы, связанные с тем, что граница ячейки может быть не цилиндрической, а чаще всего имеет форму квадрата или шестигранника. Поток нейтронов в такой ячейке будет в действительности функцией трех пространственных переменных. Чтобы упростить задачу, предположим прежде всего, что ячейка является бесконечно длинной. Обычно это достаточно хорошее приближение, так как отношение длины к диаметру элементарной ячейки в реакторе, как правило, очень велико. Таким образом, поток нейтронов становится функцией двух пространственных переменных. Далее, предполагается, что действительную границу ячейки можно заменить цилиндрической границей таким образом, что-
