Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
3.5. ДВОЙНОЕ Pjv-ПРИБЛИЖЕНИЕ
3.5.1. РАЗРЫВ ПОТОКА НЕЙТРОНОВ
НА ПОВЕРХНОСТИ
Разложение потока нейтронов в ряд по полиномам Лежандра в плоской геометрии имеет существенный недостаток. На плоской поверхности раздела распределение потока нейтронов, как функция косинуса угла рассеяния fx, обычно претерпевает разрыв при |х = 0. Однако любая конечная сумма полиномов Лежандра на интервале — I ^ ц 1 будет непрерывной при [.і — 0. Таким образом, представление потока нейтронов вблизи поверхностей раздела с по.мощью полиномов Лежандра очень неточно. Эта трудность приводит также к неопределенностям в выполнении граничных условий свободной поверхности. Как отмечалось в разд. 2.5.4, такие граничные условия не могут быть удовлетворены точно, и поэтому были использованы различные приближения. В частности, было предложено использовать отдельные разложения в ряд по полиномам Лежандра для интервалов изменения косинуса угла рассеяния — I ^ [х 0 н 0 |х ^ 1.
Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, необходимо уяснить поведение потока нейтронов на поверхности раздела. Поток нейтронов Ф (х, |х) является функцией как пространственной, так и угловой переменной. Было показано (см. разд. 3.1.5), что для фиксированного ц, не равного нулю, т. е. для данного направления, плотность (или поток) нейтронов должна быть непрерывной при пересечении поверхности раздела. Однако для фиксированного х на поверхности поток нейтронов, как функция |х, претерпевает разрыв при |х = 0 То, что это имеет место, можно показать следующим образом.
Предположим, что между двумя средами имеется плоская поверхность раздела при х = х0, и рассмотрим нейтроны на этой поверхности, имеющие направляющие косинусы + є и —є, как представлено на рис. 3.5. Все нейтроны на поверхности, имеющие |х = + е, выходят из среды слева от поверхности, s то время как нейтроны с (х = — є, выходят из среды справа от поверхности. Гак как обе среды различны, то
Ф(*0, +8)=f Ф(*0, —є)
для любого конечного значения є. Следовательно, поток нейтронов должен терпеть разрыв при [х = 0.
Величину разрыва можно найти из интегрального вида уравнения переноса для плоской геометрии или из уравнения переноса (3.3) для плоской геометрии, из которого можно получить искомое интегральное уравнение. Используем последний метод. Для этого запишем уравнение (3.3) в следующем виде;
М> + о (х) Ф {х, |х) = q (#, |х), (3.70)
дх
123
где q — вся правая часть уравнения (3.3) и, следовательно, разрывная функция на поверхности между двумя средами. Значения о и q в среде, лежащей слева от поверхности раздела, обозначены о~ и q~, а в среде, лежащей справа от поверхности, соответственно о+ и q+.
Если уравнение (3.70) разделить на [д, и умножить на интегрирующий мно-
.V
житель ехр [J' (o/\x)dx'], то д
дх
Ф(я, |х)ехр
X — Г о (xf) dx' I q ( jc , їх) I = -- р ехр
I V
— j" O(Ay)C^j
(3.71)
Для р = + є уравнение (3.71) интегрируется по х от —оо до х0. В результате имеем
Xa * j
і dx!.
х° і
Ф(л'о, +8) = -“ J (rC*'. +є)ехр------------------------j a-(x")dx"
— оо \ L xf
Отметим при этом, что нейтроны справа от поверхности раздела появляются из среды, лежащей слева от поверхности.
' ¦'?///?////,
'Среда спеба от
поверхности раздела
•,'/¦**.................
."¦Ж-
'.N4\N4\V.4
Нейтрон n'4v\4‘4 N
W \SoV\ Л
V -
44\ns\\s\-'n х Среда справа с-т ¦
4N Nns.n\v,
г>о8ерхко:ти рсзЗапц
WbN4\'4'^ . 3 ч\\\' Ч ''' 4
. \ ->л иазде.пс _ ч 44 -v
4V:
Рис. 3.5. Поведение потока нейтронов вблизи плоской поверхности раздела,
Рис. З.б. Поведение потока нейтронов вблизи криволинейной поверхности раздела.
Когда + є мало, основной вклад в интеграл дает область, лежащая очень близко к х0, следовательно, q~ и о~ можно положить равными их значениям при х = х0. После вычисления получаем
q~ (.K0. +є)
о- (?)
С другой стороны, когда ц = — е, уравнение (3.71) интегрируется по х от оо до х0, и когда —є мало по абсолютной величине, то аналогично описанному выше способу находим, что
«к*.. 7е)-
0+ (JC0)
Таким образом, разрыв потока нейтронов Ф при ц, = О дается выражением
я~ (х0, 0) q+ (х0, 0)
Iim [Ф (jc(
Є-> О
0>
+ є) — ф(*0, — 8)]
a- (?) а+ (Jc0)
Значения q± (я0, 0) можно найти из правой части уравнения (3.3).
Простой и наглядный пример разрыва потока нейтронов для |х = О на поверхности раздела представляет случай свободной (плоской) поверхности. Если
124
(см. рис. 3.5) имеется среда, расположенная слева от границы при х — х0, из которой появляются нейтроны, но отсутствуют входящие в нее нейтроны, то из этого следует, что поток Ф (*„, M-) имеет конечное значение ДЛЯ всех (X > О, HO равен нулю для всех ц < 0. Очевидно, что должен существовать разрыв потока нейтронов при |х = 0 на свободной поверхности.
Используя развитые выше доводы, можно показать, что на криволинейной поверхности раздела поток нейтронов не будет разрывной функцией ц. Рассмотрим криволинейную поверхность с локальным радиусом кривизны R (рис. 3.6). В этом случае нейтроны, движущиеся с направляющим косинусом cos 0 = ц, могут приходить от источников q~, расположенных вдоль прямой длиной s =--= 2Р|х в среде слева от поверхности раздела и от источников q+ на продолжении этой прямой в другую среду. Таким образом, когда jx —0, то s —0 и вклад в поток нейтронов источников q~ (и сечения о~) в среде, расположенной слева от границы, стремится к нулю непрерывно. Следовательно, поток нейтронов непрерывен как функция (х, и разрыв при ц = 0 отсутствует*.
