Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
і
1 + F2
для больших
(8.25)
Если это выражение подставить в уравнение (8.23), то получим результат, совпадающий с уравнением (8.11) для неуширенного резонанса.
Для очень высоких температур, т. е. наибольшего доплеровского ушире-ния, значение ? очень мало. Тогда интеграл в уравнении (8.24) можно аппроксимировать в виде произведения интеграла от выражения dXI (I + X2) на экспоненту при X = 0. Таким образом, находим, что
xF (С, Y) « LJL ? ехр ( —C2 Y2 ] для малых ?,
а уравнение (8.23) принимает вид
Г*
O1(E) = Oci -тУ-Т'-^Г exP
Это выражение, справедливое вблизи максимума резонанса для достаточно высоких температур, т. е. малых значений ? и Y < 1/?2, представляет собой распределение Гаусса с максимумом при E = E0 и шириной (]/2 X среднее квадратичное отклонение) А. Отсюда ясно, почему величина А была названа доплеровской шириной. Кроме того, для больших значений Y, когда Y > 1/?2, т. е. на крыльях резонанса, существует асимптотическое разложение [23]
xY
1
1 + Y
— Ti ч- — ¦
2 L ?2
ЗУ2-! (I +F2)2
''I-
P и с. 8.4. Доплеровское уширенне резонанса при возрастании температуры:
1 — низкая температура; 2 — высокая температура.
так что вдали от максимума резонанса кривая изменения сечения с энергией принимает свою естественную форму.
Хотя форма резонанса значительно меняется в результате доплеровского уширения, как можно видеть из типичных кривых рис. 8.4, полученных с помощью уравнения (8.23), установлено, что площадь под кривой меняется несущественно. Другими словами, можно показать, что значение интеграла от
ох (E) dE по всем энергиям приблизительно постоянно. По отмеченной в разд. 8.1.3 причине YE0IE можно положить равным единице внутри резонанса, поэтому уравнение (8.23) записывается в виде
OO OO
f о, (?) d? = о,-Ь (>(?, r)d?=-i-°»r* f ЧГК.У)4У.
о —00
Используя определение функции 1F (ь, Y) в уравнении (8.24) и интегрируя по Y и X, находим, что
OO
f Ч'(?,У)^=я
и, следовательно, площадь под резонансом, т. е.
I ах (E) dE = -L лO0 Гж,
(8.27)
321
не зависит от температуры. Используя более точные выражения для допле-ровского уширения (см. задачи 1 и 2 к настоящей главе), можно показать, что относительное изменение площади под резонансом пропорционально kTIAEU( когда эта последняя величина мала. В процессах, происходящих в звездах и при ядерных взрывах, эти изменения могут быть значительными [24], однако в реакторах они обычно пренебрежимо малы.
Следовательно, несмотря на доплеровское уширение резонанса при увеличении температуры, площадь под резонансом остается по существу неизменной. Тем не менее уширение резонанса оказывает влияние на реактивность, так как скорости реакций содержат произведения сечений на поток нейтронов. В результате того, что уменьшение потока в резонансе менее существенно в случае уширения уровней, эффект Доплера приводит к возрастанию поглощения нейтронов (см. разд. 8.3.5).
Выражения для сечений рассеяния с учетом доплеровского уширения можно вывести способом, аналогичным тому, который приведен выше для сечений реакций. В уравнение (8.16) вместо ох подставляется выражение для Os 0 из уравнения (8.12) и делаются те же преобразования, что и раньше.
Если YE0/Е положить равным единице, как и в приведенном выше рассмотрении, то в результате будем иметь
+ + <W»„> (8.28)-
где функция Доплера %(?, Y) определяется выражением
X (С, У) = J --------------------------------dX. (8.29)
V л Jjoo 1+Х-
Для нахождения функции %, (С, Y) также имеются таблицы и программы расчета на ЭВМ [25]. Если внимательно рассмотреть второй член в правой части уравнения (8.28), то можно показать, что он появляется из-за интерференции между резонансным и потенциальным рассеянием. Таким образом, % (С, Y) можна рассматривать как функцию, определяющую степень этой интерференции.
8.1.5. ПЕРЕКРЫВАНИЕ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ РЕЗОНАНСОВ
Приведенные выше сечения, учитывающие доплеровское уширение, были получены для изолированного (одноуровневого) резонанса Брейта — Вигнера. При расчете поглощения нейтронов в резонансной области иногда можно просуммировать поглощения в различных резонансных уровнях,, каждый из которых рассматривается как более или менее независящий от других. Однако имеют место случаи, когда резонансы нельзя рассматривать изолированно друг от друга.
Поглощение в одном резонансе будет, очевидно, возмущать поток нейтронов в резонансах, расположенных при более низких энергиях. Этот эффект, который не имеет большого практического значения, лучше всего исследовать с помощью численных методов расчета, и он кратко рассмотрен в разд. 8.3.8. В настоящем разделе рассмотрены три случая: а) случайное перекрывание соседних резонансов из-за их близости; б) перекрывание резонансных уровней из-за доплеровского уширения и в) интерференция уровней, т. е. нарушение формулы Брейта — Вигнера для изолированного резонанса.
При расчете резонансного поглощения необходимо, конечно, учитывать все материалы, присутствующие в системе. При этом может случиться, что некоторые резонансы различных изотопов, например урана-235 и урана-238, расположены при очень близких энергиях. Существует также возможность того, что соседние резонансные уровни одного изотопа так мало различаются по своим энергиям, что они значительно перекрываются. Это может произойти
