Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для металлического урана и тория дебаевские температуры ниже 200° К 116], поэтому рассмотренное выше приближение можно использовать при комнатных (или несколько больших) температурах. Для материалов с более высокими дебаевскими температурами, таких, как U3O8 с Qd = 500° К, лучшим приближением является выбор такой температуры максвелловского распределения, при которой средняя кинетическая энергия имеет то же значение, что и для действительного твердого тела [17].
* Дебаевская температура равна HvmskcIk, где vMaKC — максимальная частота колебания атомов в твердом теле, a h и к — постоянные Планка и Больцмана соответственно.
318
Выведем теперь форму резонанса с учетом доплеровского уширения, основываясь на предположении, что распределение скоростей ядер можно аппроксимировать максвелловским спектром [18]. В уравнениях (8.11) — (8.13), которые справедливы для покоящихся ядер, E представляет собой энергию нейтронов в лабораторной системе координат. Удобно записать ее в таком виде:
E = mvj/2,
где Vr — относительная скорость нейтрона и ядра, в случае покоящихся ядер равная и — действительной скорости нейтрона.
Рассмотрим нейтрон, имеющий определенную скорость V в лабораторной системе координат, но предположим, что ядра движутся в той же системе CO скоростью V. Тогда относительная скорость равна
vr = V — V,
и взаимодействие нейтронов с ядрами будет происходить с сечением о (Er), где
Er= шуг/2.
Если P (V) dV есть вероятность того, что ядро имеет скорость, лежащую в интервале dV около V, то вероятность взаимодействия типа х нейтронов с такими ядрами равна:
Вероятность взаимодействия типа х в секунду = Vt Ox (Et) P (V) dV. (8.15)
Полная вероятность взаимодействия в секунду находится интегрированием по всем скоростям ядер, а макроскопическое сечение получается делением вероятности взаимодействия на v. В результате получаем
о, (E) =-і-(Ч о, (?r)/> (V) dV. (8.16)
Этот вывод аналогичен использовавшемуся при получении уравнення (7.22), за исключением того, что он обобщен на случай учета энергетической зависимости сечений в подынтегральном выражении.
Оценку интеграла в уравнении (8.16) можно упростить, принимая во внимание тот факт, что скорость нейтронов велика по сравнению со скоростями ядер. Способ оценки состоит в следующем. Система координат выбирается таким образом, что ось z совпадает с направлением движения нейтрона. Тогда
Et= — m (v-V)2= А-т [(V-VJ2+ Vl+ V2y], (8.17'.
2 2
где Vx, Vlj и Vz — компоненты V. Абсолютная величина скорости нейтрона дается выражением
V=Y 2?7га,
а наиболее вероятная скорость ядер в максвелловском распределении есть
Vh. в = У2ІЇГІМ, где M — масса ядер. Следовательно,
VlV^ = YEMI(KTm).
Это отношение обычно велико для нейтронов с энергиями, лежащими в резонансной области. Рассмотрим, например, нейтрон с энергией E = 10 эв при температуре T = 1200° К, так что кТ = 0,1 эв. Для ядра массой M = 238 отношение и/Ун.в > IO2. Значит, членами VI, Vl и Vl в уравнении (8.17) можно пренебречь [19], так что
?r«m( V2—2vVz)/2. (8.18)
319
Кроме того,
Ur= КЩ7ЇЙ. (8.19)
В соответствии с уравнением (7.23) максвелловское распределение ядер по скоростям можно записать в виде
P(V) d V = (-^г)3/2 ехр ( —MV2/2kT) dVxdVydVz (8.20)
при нормировке
5 P (V) dV = 1.
При этом
OO OO
f Г P(V)WtdVy= [-?j]'П ехр (-МУІІ2ЧТ), (8.21)
-----OO ----------OO
что в точности соответствует распределению для одной компоненты скорости. Используя уравнения (8.11), (8.18), (8.19) и (8.21) вместе с уравнением (8.16), можно получить зависимость сечения ох (E) от температуры:
о,(E)=C0 f /f(^) J №V(-MVl,2«T)HEr_lr_+TJV'. (8.22)
--OO
Вид интеграла в уравнении (8.22) можно упростить, вводя следующие обозначения:
X = J-(Er-Et)-,
Y = J (E-E0);
A = V AkTEIA « /AkTE0IА;
? = Г/А,
где А — отношение масс ядра и нейтрона. Подставляя эти величины в уравнение (8.22), приводим его к следующему виду:
ах (E) = O0J і / Ь- T (?, Y), (8.23)
где 1F (С, У) —функция, определяемая выражением
цг (?t у) = -J- J ехр [~ dX. (8.24)
2 Vn J I+*2
--OO
Эта функция Доплера подробно изучена, и опубликованы ее табулированные значения [20]. Кроме того, для быстрого определения функции (С, У) имеется несколько программ на ЭВМ [21 ]. Величина А, названная доплеровской шириной, представляет собой меру ширины резонанса, учитывающую тепловое движение ядер. Необходимо отметить, что А и, следовательно, ? описывают влияние температуры на форму резонанса. Хотя при выводе уравнения (8.23) были сделаны некоторые приближения, оно оказывается достаточно точным для большинства представляющих практический интерес случаев [22].
Имеет смысл рассмотреть поведение функции 1F (С, У) в предельных случаях больших и малых значений ?. При очень низких температурах доплеровское уширение резонансных уровней мало, так что значение ? велико. При этом
320
пнтерагл в уравнении (8.24) очень мал, за исключением того случая, когда X я» Y. Заменяя в знаменателе X на Y, находим, что
