Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.
Скачать (прямая ссылка):
Так, например, определенно положительная квадратичная форма будет
бесконечно большой, так как будем в силу (10.3) иметь Xtr3 ^ v ^ Хпга,
где 0, а г - радиус-вектор точки.
X^
Функция v = у-у--g -|- у^ определенно положительная, но
не является бесконечно большой, так как при у - 0 и лг-"-оо функция v не
стремится к бесконечности.
Поверхности уровня бесконечно большой функции являются ограниченными.
В самом деле, рассмотрим какую-либо поверхность уровня v = c. Для данного
с можно указать шар радиуса R,
4б
Метод функций Ляпунова
[Гл. 1
вне которого будем иметь v с и, следовательно, поверхность v = c будет
лежать внутри этого шара.
Теорема 12.1 (об асимптотической устойчивости в целом). Если существует
определенно положительная бесконечно большая функция v, имеющая
определенно отрицательную производную во всем пространстве, то нулевое
решение системы асимптотически устойчиво при любых начальных возмущениях.
Эта теорема допускает обращение и является частным случаем следующей
более обшей теоремы [6].
Теорема 12.2. Пусть существует бесконечно большая определенно
положительная функция v такая, что
^<^0 вне М и на М, где множество М не содер-
жит целых траекторий (кроме нулевого положения равновесия). Нулевое
решение системы (12.1) будет устойчиво в целом.
Докажем теорему. Пусть р - произвольная точка фазового пространства. Из
точки р выпустим полутраекторию f(p, t)
(t>0). Так как по условию теоремы, то имеем
v(f(P> t))^vo- Так как множество v(p)^v0 является ограниченным, то
полутраекгория f(p, t) лежит в ограниченной области и, следовательно,
имеет w-предельные точки. Из леммы 5.1 следует, что все ("-предельное
множество лежит на одной поверхности уровня v - vw.
Рассмотрим два случая. Если vu> = 0, то поверхность уровня v = 0 является
началом координат. Следовательно, все w-предельное множество траектории
f(p, t) совпадает с началом координат и мы имеем lim x(t) = 0. Так как из
неравен-
t -> СО
ства ^=^0 следует обычная устойчивость в смысле Ляпунова (см. теорему
4.1), то и получаем асимптотическую устойчивость в целом.
Предположим теперь, что vw ф 0. На поверхности v = vw лежит ш-предельное
множество Q точки р, состоящее из целых траекторий. Вдоль этих
траекторий, очевидно, будем иметь г> = 0, поэтому множество 2 лежит в М.
Но по условию теоремы М не содержит целых траекторий, следовательно,
предположение, что г"ш Ф 0, приводит к противоречию.
Теорема доказана.
13]
ПРОБЛЕМА АЙЗЕРМАНА
47
Заметим теперь, что если бы множество М содержало целые траектории, то из
доказательства теоремы следует, что все траектории системы (12.1)
притягиваются некоторым множеством, лежащим в М. Это множество является
инвариантным, т. е. состоит из целых траекторий.
Последнее утверждение принадлежит Ж. Ла-Саллю [11].
Теорема 12.3 (об устойчивости в целом нулевого решения линейной системы).
Если нулевое решение линейной системы асимптотически устойчиво в смысле
Ляпунова, то оно устойчиво в целом.
В самом деле, нулевое решение будет асимптотически устойчивым в смысле
Ляпунова только тогда, когда все корни характеристического уравнения
системы имеют отрицательные вещественные части. По теореме 9.1 для любой
определенно отрицательной квадратичной формы w можно указать определенно
положительную форму v такую, что имеет место i) = w. Так как форма v
является бесконечно большой, то мы находимся в условиях применения
теоремы 12.1.
§ 13. Проблема Айзермана
Наряду с линейным уравнением второго порядка
х ах -[- Ьх = 0 (13.1)
рассмотрим нелинейное уравнение
Jc-j-ax-j-/(x) = 0, /(0) = 0. (13.2)
Если а^>0 и Ь^>0, то нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво в
целом. Условие Ь^>0 можно трактовать как условие расположения прямой у =
Ьх в первом и третьем квадранте координатной плоскости. Возникает
следующий вопрос: если график однозначной функции y=f(x) будет также
расположен в первом и третьем квадранте, то будет ли нулевое решение
уравнения (13.2) асимптотически устойчивым в целом? Иными словами,
обеспечивают ли условия а^>0, f(x)x^>0 асимптотическую устойчивость в
целом, либо нужны какие-либо дополнительные условия?
Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим функцию Ляпу-
X
нова v - уг 2 J f{x) dx. Производная функции v в силу
48
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. I
системы
х =у, р = - /(х) - ау
имеет вид i> = -2ау%. Чтобы функция v была определенно положительной,
необходимо потребовать выполнения условия /(х)х^>0. Если а^>0, то v будет
знакоотрицательной. Очевидно, ii обращается в нуль на линии^/ = 0, не
содержащей целых траекторий, кроме положения равновесия.
Таким образом, для применения теоремы 12.2 остается проследить, чтобы
функция v была бесконечно большой. Для этого достаточно потребовать
выполнения условия
\ f (X) dx ¦
при | jc 1 ->• оо, либо выполнения более простого условия
- е 0 при х ф 0.
Мы видим, что, вообще говоря, выполнения обобщенных
условий Рауза-Гурвица а^>0, /(х)х^>0 недостаточно для вывода заключения о
