Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Барбашин Е.А. -> "Введение в теорию устойчивости" -> 13

Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости — Наука, 1967. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. .. 1011 12 < 13 > 14 15 16 17 18

"?={А-^Е)Х- <9-3> Характеристическое уравнение этой системы будет иметь
вид
' а
Л-| + Р?=0. (9.4)
38
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. I
Очевидно, корни характеристического уравнения системы (8.7) и системы
(9.3) связаны между собой соотношением Xf = ру.
Выберем а настолько малым, чтобы выполнялись условия:
1) Из ReX,-^>0 следует Rep,^>0,
2) pi -(- рк Ф 0 ни при каких целых I и k.
Очевидно, первому условию легко удовлетворить, выбирая а достаточно
малым. Замечая, что р(= -J-Xft - а, мы можем выбрать а не совпадающим ни
с одним из конечного множества чисел X,- -)- следовательно, можем
удовлетворить и второму условию.
По теореме 9.2 существует функция v, принимающая положительные значения,
и такая, что в силу системы (9.3)
dv "
-r = w. Так как
d т
= ( А - ^ Е^х grad v - Ах grad v - х grad v, и так как по теореме Эйлера
об однородных функциях
то имеем
dv dv w~ dz~ dt aV'
где через ^ обозначена производная функции v, взятая
в силу системы (8.7). Таким образом, соотношение (9.2) доказано.
§ 10. Оценка решений линейных систем
Введем сначала одно важное неравенство из теории квадратичных форм.
Рассмотрим квадратичную форму d = (jc, Вх) и поставим задачу отыскания
наименьшего и наибольшего
П
значений этой квадратичной формы на сфере х* - ^ х* = г8.
" = 1
Согласно известным правилам решения задач на относительный экстремум
следует искать экстремум квадратичной формы w - V - X (jc1 - г8).
ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
39
В точках экстремума должно выполняться условие grad w = grad v - 2\х = 0.
Так как grad v - 2Вх, то необходимые условия экстремума приводят нас к
уравнению
Вх = \х. (Ю-1)
Это уравнение имеет ненулевое решение только в том случае, когда \
является корнем уравнения
\В - Х?| = 0. (10.2)
Так как матрица В является симметричной, то ее собственные значения
вещественны. Обозначим через X, наименьшее собственное число матрицы В, а
через Хп - наибольшее собственное число.
Умножая уравнение (10.1) слева и справа на х, получим v - (Bx, х) =
\х*, т. е. у = \г*. Таким образом, беря в качестве \ наибольшее
и наименьшее собственные числа, выводим
неравенство
^ Х"г9, (Ю-З)
справедливое для всех точек пространства.
Принимая г3 = 1, приходим к выводу, что Xj есть минимальное значение
функции v на единичной сфере, а кп - максимальное значение.
Перейдем теперь к задаче оценки решений системы линейных дифференциальных
уравнений |Ю).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
%=Ах, (10.4)
и предположим, что все собственные числа матрицы А имеют отрицательные
вещественные числа. По теореме 9.1 существует определенно положительная
квадратичная форма г> = (л;, Вх), такая, что в силу системы (10.4) будем
иметь
П
d(r)t- - г\ где га= ^ ¦*:i- О0-5)
< = )
С другой стороны, из неравенства (10.3) следует неравенство
40
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
|ГЛ. t
где Х" Хп-соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа формы
V. Таким образом, из соотношений
(10.5) и (10.6) следует неравенство
v _ dv v
X, ^ л ^ V
которое можно записать в виде
(Ю. 7)
К V х" v'
Интегрируя (10.7) от нуля до t и обозначая через и0 значение функции v в
начальной точке траектории р, получим
</Xl sS г<ое_//Хл-
Используя неравенство (10.6), получаем окончательную
оценку г3 вдоль решения системы (10.4):
v° е- t/х, ^ ^ "о е- ц\п (J 0.8)
Неравенства (10.8) могут быть использованы для оценки времени переходного
процесса. В самом деле, разрешая относи-
-чК - а (tm) ^__________1 т" xi?S
тельно t уравнение ~ е п = s9, получим t = - Х"1п-------- .
А-1
Таким образом, время переходного процесса t (р, г), т. е. время,
необходимое для того, чтобы величина г стала и оставалась в дальнейшем
меньше е, удовлетворяет неравенству
t(p, s)^-X"ln^l.
§11. Теоремы об устойчивости по первому приближению
Наряду с системой dxi___
k^\
d?= 2 aik*k-\-Xi(xк •••> xn\ /=1, 2, ..., я, (11.1)
рассмотрим систему
§ 11] УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 41
Предположим, что Xt (0.......0) = 0 и
j]Xf(xb ..., х})х + \ (11.3)
" = I / = 1
где а^>0, А - положительная постоянная. Систему (11.2) будем называть
системой, первого приближения.
Поставим задачу выяснения условий, при выполнении которых из устойчивости
или неустойчивости системы первого приближения вытекает соответственно
устойчивость или неустойчивость нулевого решения системы (11.1).
Лемма 11.1. Пусть w - знакоопределенная квадратичная форма, v -
произвольная квадратичная форма.
П
Функция w -(- ^ X'i будет знакоопределенной, совпа-
i- 1
дающей по знаку ewe некоторой окрестности начала координат.
Согласно (10.3) имеем
Р1Г2^та^РпГа,
где pi - наименьшее, р" - наибольшее собственные числа
^ П 2
формы w, r = (2 xf)1/a. Так как ^ [fix) - тоже квад' ' г=1
ратичная форма, то имеем
? = 1
где А(, Ап - собственные числа указанной формы. Из неравенства
Буняковского-Шварца и (11.3) следует
2 &*<Нй(?ЛЧ2"Г
"=1
i=i /= 1
Предположим, что w - определенно отрицательная форма. Имеем
П
dv
w
42
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Предыдущая << 1 .. .. 1011 12 < 13 > 14 15 16 17 18

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed