Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.
Скачать (прямая ссылка):
X
у = х -)- J (р (х) dx, о
получим систему
X
х=у - J ср (x)dx,
о
)> = -/(х).
Используя функцию Ляпунова
X
v =у3 -)- 2 J /(х) dx
о
и принимая во внимание, что
X
v= - 2/ (х) J ср (х) dx,
о
получим следующие достаточные условия устойчивости в целом:
a) /(х)х^>0 при х^О,
b) ср (х) 0 при х ф О,
X
c) ^/(x)dx-voo при |х|-*оо.
(14.8)
54
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
1ГЛ. I
Пример 4 (Н. Н. Красовский |9]). Рассмотрим уравнение
х - f (х, х),
эквивалентное системе
х=у, p=f(x, у).
Беря функцию Ляпунова в виде
X
v=yL- 2$/(х, 0)о?дг, о
получим
v = 4[f(x, y)-f(x, 0)]j.
Условия устойчивости в целом имеют вид
a) f (х, 0) х 0 при х Ф 0,
b) U(x,y)- f(x, 0)]J<0 при уф 0,
X
c) §/(•*> 0)а?л;-"-оо при |х|-"-оо. о
Пример 5 (Е. А. Барбашин [20]). Рассмотрим уравнение Ar-|~"-V-j-9(-^)-j-
/(-^) = 0, (14.9)
где <р (0) =/(0) = 0, а^>0, функция f(x) непрерывно дифференцируема, а
функция <р (х) непрерывна при всех значениях аргумента. В дальнейшем
введем в рассмотрение функцию
w (х, у) = aF (х) -f f (х)у -f Ф (у),
где
X
F(x)=\f (х) dx,
о
У
ф Су) = $?00 О-
о
Вводя обозначения у = х, z=$-\-ay, уравнение (14.9) приведем к системе
х=у, p - z - ay, Z= - <р СУ)- f(x). (14.10)
ПРИМЕРЫ
55
Рассмотрим функцию
V - aF (х) + / (х)у + Ф (.у) z* = w (х, у) + '
У
У
Имеем
v= [/'(-*)
Пусть выполнены условия
a) /(х)х^> 0 при х ф О,
b) а - /' (х) > 0 при у ф О,
c) lim w(x, у) = оо, где г = (х'г уг)1/2.
/"-¦СО
Из условия (Ь) следует, что г><^.0 при уф 0 и v = 0 при у = 0. Покажем,
что на плоскости у = 0 нет целых траекторий, кроме нулевого положения
равновесия. В самом деле, если такая траектория имелась бы, то вдоль нее
мы должны иметь у= p~Q. Из второго уравнения системы (14.10) следовало бы
z = 0 и i = 0, из третьего уравнения следует тогда (так как ср Q/) - 0)
тождество / (х) = 0. Условие (а) с учетом непрерывности /(х) приводит нас
к тождеству х = 0. Таким образом, рассматриваемое движение может быть
только нулевым.
Покажем теперь, что функция w является определенно положительной. Имеем
.Л _ (2ф (Л1) +yf (х)У I 4 aF (х) Ф (у) -у3/1 (х) w (х, у) 4ф 4ф
Заметим, что Ф (_у) 0 при у ф 0. В самом деле, так как
/(х) меняет знак в точке х = 0, то /'(х) принимает положительные значения
для некоторых значений х; эти значения, как видно из условия (Ь), не
превышают нижней грани значений -¦ ^ , что и обеспечивает нам
положительность
у у
илр что то же самое, положительность Ф (У).
Покажем, далее, что функция
н (х, у) = 4aF (х) Ф О) -У2/2 (х)
56
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. I
положительна при х ф 0, у ф 0. В самом деле, имеем
и (х, у) = 4 ^ ^ f{x) [а -- /' (х) .у] dy dx.
о о
Условие (Ь) обеспечивает положительность внутреннего интеграла, а условие
(а)-положительность функции и(х, у). Итак, w(x, у) является определенно
положительной функцией аргументов х и у и, следовательно, функция v(x, у,
z) =
г2
= w (х, у) -f- 2" является определенно положительной функцией аргументов
х, у, г.
Таким образом, мы находимся в условиях применения теоремы 12.2, из
которой следует, что условия а), Ь), с) обеспечивают устойчивость в целом
нулевого решения системы (14.10).
Пример 6. (Е. И. Железнов [21J). Рассмотрим уравнение ¦xr-j- ах -|-/(дг)
х -f- сх = 0. (14-11)
Вводя новые переменные
X
у = х -f- ах -f- ^ / (х) dx,
о
г = ?-\- ах,
получим систему
X - Z - ах, р- - сх, &=у - F(x), (14.12)
где
X
F(x)- ^f(x)dx.
о
Рассмотрим функцию
X
\F(x)dx-xy-\-^y'-\-~,
о
вычисляя производную функции v в силу системы (14.12), получим
F(x)
х
Условия а) а^> 0, с^> 0, b) а/(лг)^> с -(- е, где е^>0,
Примеры
5?
обеспечат нам устойчивость в целом нулевого решения системы (14.12).
В самом деле, из условия (Ь) по теореме о среднем значении следует, что
а ~~ф~ - с > е > °;
отсюда получим знакоотрицательность производной v.
Чтобы показать знакоопределенность функции v, представим ее в следующем
виде:
\[a^l-c)xdx
__ (¦ау - схУ . о______________________,г*_
2ас ~Т~ a ~t~ 2 *
Условие (Ь) очевидно обеспечивает положительность интеграла, входящего в
запись функции v, а условие (а) обеспечивает положительность обоих
слагаемых. Легко также доказывается, что на плоскости дг = 0 нет целы-х
траекторий.
Пример 7. (Е. А. Барбашин 118]). Построим функцию Ляпунова для системы
П
PikfkiPki* /=1, 2, Ну
k=\
п
где при 0кф 0, akmXm> k= 1" 2,п,
т - 1
аш - постоянные, pik могут быть функциями координат, параметров и
времени. Рассмотрим функцию
(r)= S $ flip) do.
/=10
Очевидно, что эта функция будет определенно положительной
и, кроме того,
П
Ъ = 2 ^ bfrmf h (Pk) f т (°m)>
m, k= I
где
bkm 2 ^ iakiPim "b amiPik)•
i - 1
58
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. I
Таким образом, v будет определенно отрицательной, или знакоотрицательной,
если этим же свойством обладает форма
П
У1 ^ктЧк^т"
т, ft = l
Как известно, критерий Сильвестра и критерий знакоотри-цательности легко
переносятся на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и
поэтому эти критерии с успехом могут быть здесь использованы.
