Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Барбашин Е.А. -> "Введение в теорию устойчивости" -> 12

Введение в теорию устойчивости - Барбашин Е.А.

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости — Наука, 1967. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. .. 1011 < 12 > 13 14 15 16 17 18

легко видеть, что имеет место соотношение h (А* - (if) B - Bh (- А),
которое и приводит нас к противоречивому выводу, что В = 0.
Итак, среди собственных чисел X,- - |х матрицы А - (if существует по
крайней мере одно, равное - Xfc (здесь через Хг, Xft обозначены
собственные числа матрицы А). Таким образом, (л = Хг -j-Xft и в силу
условия теоремы |х ф 0. Отсюда делаем вывод, что оператор F обратим, и
уравнение (8.10) имеет решение.
§ 9. Построение функций Ляпунова в виде квадратичных форм для линейных
систем дифференциальных уравнений
Докажем теперь ряд теорем о существовании функций Ляпунова для линейных
систем. Приводимые ниже результаты были получены А. М. Ляпуновым; который
строил функции в виде однородных форм т-го порядка. Однако мы,
ограничиваясь для простоты квадратичными формами, несколько усиливаем
формулировки А. М. Ляпунова. Это усиление состоит в том, что,
рассматривая уравнения (8.9), мы отказываемся от требования
знакоопределенности функции w (Ю. И. Алимов [9]).
Теорема 9.1. Если все корни характеристического уравнения имеют
отрицательные вещественные части, то, какова бы ни была наперед заданная
знакоотрицательная квадратичная форма w, обращающаяся в нуль на множестве
М, не содержащем целых траекторий, кроме точки О, существует одна и
только одна квадратичная формй V, удовлетворяющая уравнению (8.9), и эта
форма обязательно будет определенно положительной.
2*
36
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. I
В самом деле, по теореме 8.1, так как величина X(--|-Xft не обращается в
нуль, существует форма v, удовлетворяющая уравнению (8.9). Остается
показать, что v является определенно положительной. Допустим, в некоторой
точке р (jrJ, ..., х%) выполнено неравенство х"(х|[, ..., -*^)<^0. В силу
однородности функции v мы будем иметь неравенство v{kx\,..., kx°n)<^0 ПРИ
Л1°бом положительном k; это означает, что в любой окрестности точки О
имеются точки, в которых v отрицательна. Множество М, где w= О, не
содержит целых траекторий. Из теоремы 6.3 (при замене v на - v и w на
- w) следует неустойчивость положения равновесия, что противоречит
предположению, так как при условиях теоремы обеспечивается
асимптотическая устойчивость. Допустим теперь, что в некоторой точке
имеем v(p) = 0. Так как v^O, и вдоль траектории f(p, t) не может
выполняться тождественное равенство v - О, то найдется точка q-f(p,t), в
которой v(q)<^ 0, что снова приводит к противоречию. Таким образом,
всюду, кроме точки О, имеем d(/?)^>0, что и доказывает теорему.
Теорема 9.2. Если среди корней характеристического уравнения системы
(8.1) имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, и если ни
при каких I, k величина Хг -)- Xft не обращается в нуль, то какова бы ни
была знакоположительная форма w, обращающаяся в нуль на множестве М, не
содержащем целых траекторий, существует одна и только одна квадратичная
форма v, удовлетворяющая уравнению (8.9), причем эта форма не будет
знакоотрицательной.
В самом деле, по теореме 8.1 форма v существует. Остается лишь доказать,
что форма v принимает положительные значения. Допустим, что всюду, кроме
точки О, выполнено неравенство хх^О, но в таком случае мы находимся в
условиях применения теоремы 5.2 (снова заменяя v на - v и ф на - w), из
которой следует, что нулевое решение системы (8.1) асимптотически
устойчиво. Однако из предположения теоремы о корнях характеристического
уравнения системы (8.1) мы имеем неустойчивость. Если же в какой-либо
точке v{p) = 0, то, так как v не может равняться нулю вдоль всей
траектории точки р, приходим к заключению, что на этой траектории
найдется точка q, в которой f(9)^>0, что согласуется с утверждением
теоремы. Теорема доказана,
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
37
так как последняя возможность существования точек, в которых v(q)^> 0, и
является утверждением нашей теоремы.
Примеча ние. Покажем, что теорема 9.2 становится неверной, если не
выполнено условие Хг -|- ф 0. Рассмотрим случай, когда среди корней
уравнения (8.2) есть нулевой корень. В этом случае определитель | А |,
составленный из коэффициентов системы (8.1), равен нулю, и система
уравнений
П
2 а;Л = °> 1=1, 2, п, (9.1)
будет иметь ненулевое решение xk = x%, k=\,2,...,n. Какова бы ни была
функция v, получим в точке Q(xJ, ..., х")
dv Vi dv V о п
Tt=ltet Zai*Xk = 0'
k=\
поэтому i) не будет знакоопределенной; более того, множество, где v = 0,
содержит целые траектории, так как точка Q является особой.
Теорема 9.3.'Если среди корней характеристического уравнения системы
(8.1) существует хотя бы один с положительной вещественной частью, то,
какова бы ни была знакоположительная квадратичная форма w, обращающаяся в
нуль на множестве М, не содержащем целых траекторий, всегда найдется
квадратичная форма v и положительное число а такие, что будет выполняться
соотношение
d-jt=o.v-\-w, (9.2)
причем функция v не будет знакоотрицательной.
Для доказательства рассмотрим наряду с системой (8.7) систему
Предыдущая << 1 .. .. 1011 < 12 > 13 14 15 16 17 18

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed